三角関数の変換に納得できません

質問

微積の本を読んでいるのですが、三角関数の変換をどうやればそうなるのかがわからず困っています。
本の間違いのような気もするのですが、一応確認させてください。

1/2sinx < x/2 < 1/2tanx

上の式を変形すると

1 > sinx/x > cosx

となるらしいのですが、できますか？
私はできないと思うんですが・・・。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

式が少し見づらいですね・・・。
元の式は、
1/2* sin(x)＜ x＜ 1/2* tan(x)

ですよね？（sin, tanが分子にあるのか、分母にあるのかがわかりずらいかと。）

そして、この式は lim[x→0] sin(x)/xの極限（の導出過程）を表すものですよね？
もしそうであれば、
x→ 0の極限を考えるので、0＜ x＜π/2とすると sin(x)＞ 0となり、
各辺に 2をかけて、sin(x)で割れば
1＜ x/sin(x)＜ 1/cos(x)

最後に各辺逆数をとって
1＞ sin(x)/x＞ cos(x)

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
質問の仕方が良くなかったですね。補っていただいてありがとうございます。
逆数ですか・・・その手がありましたね！ありがとうございます。

回答No.3

WiredLogic

lim[x→0]sinx/x = 1 を証明する準備だと思うので、
x > 0 の範囲の、0の近所で、の話でしょうが、
条件は、一応、0 < x < π/2 ということにしておきます。

で、この条件では、グラフから、sinx < x < tanx、
(提示された最初の式の(1/2)は要らない筈です)
これは問題ありませんよね？

まず、sinx < x の両辺を、x( >0)で割ると、sinx/x < 1、
問題の式の半分は示せます。

次に、x < tanx = sinx/cosx の両辺に、cosx(>0) をかけ、x(>0) で割ると、
cosx < sinx/x、これで、残り半分も示せました。

ひょっとしたら、３つまとめて変形しようとして詰まったのでは？

お礼

回答ありがとうございます。
>ひょっとしたら、３つまとめて変形しようとして詰まったのでは？
そうです、おっしゃるとおり。
そうか・・・２つに分けても導出出来るんですね。

回答No.2

pasocom

ご提示の式に間違いがなければ、
1) 1/2sinx < x/2 < 1/2tanx
これのどの辺の分母にも２が入っていてイヤなのですべてに２を掛けて
2) 1/sinx < x < 1/tanx
ここでtanx=sinx/cosx ですから、右辺を変形して
3) 1/sinx < x < cosx/sinx
むりやり結論の式に近づけるために各辺にsinxを掛けるのですが、このときsinx＞0の場合は不等号の向きは変わらず、sinx＜0の時には不等号の向きが反対になります。そこでsinx＜0という前提に立てば、各辺にsinxを掛けると
4) 1 > xsinx > cosx
となります。中央の辺が違ってくること、またsinx＜0　という前提でのみ成り立つという２点でおかしいですね。

お礼

回答ありがとうございます。
すいません。私が示した式がよくありませんでした。