どうしてもこの定積分の求め方がわかりません

質問

∫[0～π/2]|sinx-2cosx|dx
の定積分の求め方を教えてほしいです。
いろいろやってみたんですが、どうしてもうまくいきませんでした。
よろしくお願いします。

回答No.2

KitCut-100 · ベストアンサー

|sinx-2cosx|絶対値がついていてややこしいですが、いったん加法定理を利用して、 sin(x-α)の形にします。 次に正負の値に注意しながら積分範囲を
∫[-α～π/2-α] |sin(x)|dx に変更します。 ここで積分を行ってαのまま答えを
だします。 そして答えの中の sinα とcosαの値 2/ルート5 ,1/ルート5を代入して
完成します。 答え 2(ルート5) - 3 です。

お礼

すいません、こちらがしっかりと確認していませんでした。
αは決まった値ではなく、αのままで計算するということですね。

解説、ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
sin(x-α)の形にするのだろうというのは思いついたのですが、
それがなかなかうまくいきませんでした。
もしよければ、その部分について詳しく書いていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

R_Earl

まずは絶対値記号を外します。
そして絶対値記号を外した関数に対して積分を行います。

三角関数の合成を使って、sinx - 2cosx = (√5)sin(x - α)と変形します
(ただしαは、sinα = 2/√5、cosα = 1/√5を満たす。つまりαは第一象限の角)。
すると被積分関数は

| sinx - 2cosx | = | (√5)sin(x - α) |

と変形できます。
(1) 0 ≦ x ≦ αの時、絶対値記号の中身はマイナスなので
|(√5)sin(x - α)| = -(√5)sin(x - α)

(2) α ≦ x ≦ π/2 の時、絶対値記号の中身はプラスなので
|(√5)sin(x - α)| = (√5)sin(x - α)

よって
∫[0～π/2]| sinx - 2cosx |dx
= ∫[0～α]{ -(√5)sin(x - α) }dx + ∫[α～π/2]{ (√5)sin(x - α) }dx

となります。

∫[0～π/2]| sinx - 2cosx |dx
= ∫[0～α]{ 2cosx - sinx }dx + ∫[α～π/2]{ sinx - 2cosx }dx

としても計算できます。

お礼

詳しい回答、解説、ありがとうございます。
無事に問題が解けて解決することができました。

回答No.1

orcus0930

難しく考えすぎなんじゃない?

∫[0~π/2] (sin(x) -2 cos(x))dx　なら
[-cos(x) -2 sin(x)] (0~π/2)
ですよ。

補足

回答ありがとうございます。

気づきにくかったかもしれませんが、
中の　|sinx-2cosx|　は、全体に絶対値がかかっています。
なのでその方法ではダメな気がするのですが。

またお返事よろしくお願いします。