変数が分母にある方程式のグラフの求め方について

質問

はじめまして。

f(x)=x+2/xといった、変数が分母にある方程式のグラフはどのようになるのでしょうか？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

まず f(-x)＝ -(x+ 2/x)＝ f(x)ですから、原点に対して点対称なグラフになっていますね。
（「奇関数である」ということです。）
以下では、x＞ 0のときを考えることにします。

#1さんが書かれているように、
概形としては y＝ xと y＝ 2/xのグラフを足し合わせたと考えるのが自然だと思います。

もう少し「感覚的」に見るのであれば、
・xが 0に近いとき、xと 2/xとを比べると 2/xの方が大きな値をとります。
xはほとんど 0になって全体の値に対する影響が小さくなります。
よって、ほとんど y＝ 2/xのグラフに重なる形になります。

・逆に、xが非常に大きくなると xの影響が大きくなります。
よって、ほとんど y＝ xのグラフに重なる形になります。
これは「漸近線」と呼ばれていますね。

あとは、相加・相乗平均の関係から 最小値が √2（x＝ √2のとき）ぐらいが押さえられていれば、

y＝ 2/xと y＝ xのグラフを描いて、それらをつなぎ合わせる。
最小値は (√2, √2)の点になるので、そこはおさえておく。
最後に x＜ 0の部分（点対称）を忘れずに。

といった感じになると思います。

「困った時は微分」という手もありますが、概形を知りたいだけであれば上の内容で十分だと思います。

回答No.2

noname#185706

分母が 0 に近づくときの f(x) の振る舞いを考えてください。

例えば、f(x) = 1/x の場合には、分母 x が 0 に近づくとき、分子は 0 に近づきませんから、f(x) の絶対値はいくらでも大きくなります（無限大 ∞ になります）。分母 x が正（プラス）の側から 0 に近づくとき、つまり x → +0 のときは f(x) も常に正ですから、f(x) → +∞ です。分母 x が負（マイナス）の側から 0 に近づく x → -0 のときは f(x) も常に負ですから、f(x) → -∞ です。このように、分母が 0 になる ｘ の値の近くでグラフの振る舞いが大きく異なることがあります。

ちなみに、y = f(x) = 1/x のグラフは双曲線と呼ばれる種類の曲線です。

これに対して、f(x) = 1/x^2 の場合には、x → +0 の場合にも x → -0 の場合にも、f(x) は正なので、f(x) → +∞ です。

回答No.1

Mr_Holland

分数の分子は2だけですね。
　でしたら、f(x)を g(x)=x, h(x)=2/x と分けて、それぞれ　y=g(x)=x, y=h(x)=2/x のグラフを同じxy平面上に描いてください。
　そして、それらを足し合わせると　y=f(x)=x+2/x のグラフになります。
　イメージとしては次のサイトの説明を参考にしてみて下さい。

http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CFt07.html
（分子は１ですが、やることは同じです。これでイメージをつかんでください。）

　もし　分数の分子が (x+2) でしたら、f(x)=1+x/2 と変形して、y=2/x のグラフ全体を+y方向に+1だけ平行移動してください。