3D-GRAPESで2変数関数のグラフの描き方

質問

高校2年です。
GRAPES、3D-GRAPESを最近使い始めました。
まだ、使い始めて間もないのであまり使い方がよく分かりません。

x-1≦y≦x^2≦1 のとき z=f(x,y)=2x^2-xy

の3D-GRAPESでのグラフの描き方を
「○○」の欄に「●●」と入力すればよい。みたいな感じで教えてください。
塾でこの関数の最小値を求める問題で、予選決勝法というのを教えてもらい、
それは理解でき、関数の概形もわかるのですが、正確な形を知りたいので。

お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足質問について
>よって、曲面の作成で（s,t,2s^2-st）、-1≦s≦1、s-1≦t≦s^2 と入れると確かに同じような(?)曲面ができたのですが、
上から見た図(定義域）が紙に書いたものと一致しません。
これは何が原因なのですか？

原因は、3D-GRAPESの文法（使い方）に違反した使い方をしているわけで、文法を無視すれば3D-GRAPESも正しく動作する保証がないと言うことです。

s,tは媒介変数であってパラメータ定数ではないからです。
tの範囲指定ではsをパラメータ定数として使った所に間違いがあります。sはすでに媒介変数として使われている文字で定数としては使えません。媒介変数の上限や下限に使える文字は媒介変数として使われていない文字、つまりパラメータ定数に限ります。範囲指定に未知数（媒介変数）を含んだ不等式は書いてはいけない。あくまで媒介変数の範囲指定でないといけない。上限、下限は定数でないといけないということです（3D-GRAPESの文法による）。
なのでsをパラメータ定数のように変化させる（誤った操作）と媒介変数と競合して、正常で無い挙動となってあらわれるわけです。
なのでA#1で回答したよう不等式境界内の曲面だけを表示する方法か、A#1に書いたように媒介変数の範囲を固定にして曲面上に不等式の境界線を書き込み、曲面上の領域を表す方法か、どちらかを採用することになります。

回答No.2

info22_

#1です。

>私のイメージでは、x-1≦y≦x^2≦1やz=f(x,y)=2x^2-xyを入力すれば、
ぱっと曲面が現れるものだと思っていました。
そうすることはできないですか？（質問２）

A#1で回答した曲面の表現方法は3D-GRAPESではかなり高度なテクニックです。
曲面上の範囲指定「x-1≦y≦x^2≦1 」があるため簡単にはできないのです。
これが無く、単純な「-1≦x≦1,-2≦y≦1」のような範囲指定なら
曲面の媒介変数表現(s,t,2s^2-s*t)で範囲指定「-1≦s≦1,-2≦t≦1」を
するだけで曲面が描けます。

>入力するときの、「(1,s,2-s)」「(s,s-1,s^2+s)」などは何を意味して
いるのですか？（質問１）
>sやaの意味がよくわかりません。
sは媒介変数でaは文字定数で別物のです。同じように考えないで下さい。
3D-GRAPESでは3次元の曲面や曲線の表現法として媒介変数表現( sやt)を使います。
曲線の場合は１つの媒介変数s（またはt)を使い(x,y,z)=(x(s),y(s),z(s))で表現します。
媒介変数は範囲と刻みを指定できます。範囲指定には文字定数を使用できます。
この方法は2次元のGRAPESでも使われています。
媒介変数によるグラフの式では
(x,y,z)=(1,s,2-s)のように表されます。ばらせば
x=1,y=s,z=2-s
sを消去すればx=1,z=2-y(s0≦y≦s1)
これは3次元の線分の方程式ですね。いまs0=-1,s1=1とすれば
2点(1,-1,3),(1,1,1)を結ぶ線分を表します。
またz=2x^2-xyとも書けますのでこの線分は曲面z=2x^2-xy上の直線で部分平面x=1（-1≦y≦1）で切断して曲面領域の境界線の１つとなっています。

(x,y,z)=(s,s-1,s^2+s)の場合、ばらせば
x=s,y=s-1,z=s^2+s
sを消去し変形すればy=x-1,z=2x^2-xy(s0≦x≦s1)
これは3次元の曲線の曲線分の方程式で3次元曲面z=2x^2-xy上の曲線で、部分平面y=x-1（(s0≦x≦s1)）でこの曲面を切断しています。いまs0=0,s1=1とすれば
曲面上の2点(0,-1,0),(1,0,2)を結ぶ曲面に沿った曲線を表します。
aは直線や曲線群を表すための定数パラメータでaを変化させることで直線や曲線を移動させて軌跡を描くことができます。

一度に全てを理解することは、数学的な知識が無いと理解できませんので、学校の数学の授業で3次元空間の座標系（XYZ座標、球座標、円柱座標）や平面や曲面の媒介変数表現や3次元のベクトルの要素表現などの学習の進み具合にあわせて3D-GRAPESやGRAPWESを使いながら理解を深めていく事が大切です。GRAPESや3D-GRAPESのホームページにはマニュアルやサンプルとして関連した使用例が沢山ありますし、ネット上にも数多くの使用例が存在しますので一通り読破して3次元プロットをして3次元の平面や図形や曲面や曲線の表現方法をマスターしてください。

補足

なるほど。3次元のパラメータ表示はあまりやったことがありませんでした。
詳しい説明ありがとうございます。

ところで、定義域は実際に紙に書くと分かったのですが、
-1≦x≦1、x-1≦y≦x^2 と同値変形できますよね？
よって、曲面の作成で（s,t,2s^2-st）、-1≦s≦1、s-1≦t≦s^2 と入れると確かに同じような(?)曲面ができたのですが、
上から見た図(定義域）が紙に書いたものと一致しません。
これは何が原因なのですか？
パラメータを動かすと、s=-1/2、t=-3/2で確かに最小値になっています。
度々質問すみません。

回答No.1

info22_

曲線の作成→Pから「(1,s,2-s)」と入力、定義終了
変域：0≦s≦1
線色→黒、太さ→最細から2番目
点色→透明
OK

曲線の作成→Qから「(s,s-1,s^2+s)」と入力、定義終了
変域：-1≦s≦1
線色→黒、太さ→最細から2番目
点色→透明
OK

曲線の作成→Rから「(s,s^2,2s^2-s^3)」と入力、定義終了
変域：-1≦s≦1
線色→黒、太さ→最細から2番目
点色→透明
OK

曲線の作成→Tから「(-1,3s-2,3s)」と入力、定義終了
変域：0≦s≦1
線色→黒、太さ→最細から2番目
点色→透明
OK

曲線の作成→Sから「(a,a-1+s(1-a+a^2),a+a^2-s(a-a^2+a^3))」と入力、定義終了
変域：0≦s≦1
増減幅：0.05
線色→青、太さ→最細
点色→透明
OK

編集－オプション－グラフ－残像の濃さ→一番濃い（一番左）
OK

以上で領域境界描画完了。
領域内の塗りつぶしSのグラフのパラメータaの刻み0.05
左右方向三角矢印の左三角をクリックしてaを1～-1まで変化させる。
（失敗したら足跡ダイナマイトマークをクリックして残像消しやり直す）

以上で希望の領域の曲面の3次元プロット完了です。
グラフの上のパラメータバーの数字は、左から順に、140.0, 40.0, 999.0, 0.3, 2.5です。
グラフを水平方向、上下方向に回転させて見てください。
真上から見たグラフで与えられた不等式が表す領域が確認できます。

うまく描けましたか？

補足

うまく描けました。aの値を変化させて、それに合わせて残像を作れば曲面ができて、確かにx=-1/2、y=-3/2で最小値-1/4ととっていて、
予選決勝法の確認ができました。

しかし、入力するときの、「(1,s,2-s)」「(s,s-1,s^2+s)」などは何を意味しているのですか？（質問１）
sやaの意味がよくわかりません。
私のイメージでは、x-1≦y≦x^2≦1やz=f(x,y)=2x^2-xyを入力すれば、
ぱっと曲面が現れるものだと思っていました。
そうすることはできないですか？（質問２）