AB+BC+CAが平方数となる表示

質問

AB+BC+CAが平方数となるような整数A、B、Cの表示はどうなるのか
というのが質問内容です。

どうしてこのような疑問を思ったかというと
デカルトの円定理の関係式(不定方程式)の整数解
http://okwave.jp/qa/q7341028.htmlをみて
疑問に思ったのですが、うえの質問によれば半径a,b,cの3つの円が
それぞれ外接していて、その外側に半径dの4つ目の円が接しているときは
2(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2) = (1/a + 1/b + 1/c - 1/d)^2
が成り立ち,任意の整数 α＞β≧γ＞０　に対して、
λ＝２αβγ（α＋β）－αβ（αβ－γ^2）－γ^2（α＋β）^2
とし、
ａ＝λα（αβ－γ^2）、ｂ＝λβ（αβ－γ^2）、ｃ＝λγ^2（α＋β）
ｄ＝αβγ2（αβ－γ^2）（α＋β）　　　
とおくと、 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2) = (1/a + 1/b + 1/c - 1/d)^2
を満たすそうです。

曲率で考えるとA=1/a,B=1/b,C=1/c,D=1/dとすると
2(A^2+B^2+C^2+D^2)=(A+B+C-D)^2 つまり
A^2+B^2+C^2+D^2+2(A+B+C)D-2(AB+BC+CA)=0
これをDについての二次方程式と思ってとくと
D=-(A+B+C)±2(AB+BC+CA)^(1/2)
だからAB+BC+CAが平方数で表されるよう様な整数A,B,C
があるとDも整数となり曲率の整数解ができると思うのです。上で得られた半径の整数解
を参考にして逆数を取って考えると次のような解がAB+BC+CA＝平方数をみたすと思います。
整数 α＞β≧γ＞０として
A=αγ^2（α＋β）、
B=βγ^2（α＋β）、
C=αβ（αβ－γ^2）で
AB+BC+CA=α^2β^2γ^2（α＋β）^2と平方数になります。

質問は２点です。
(1)このようなA、B、Cの表示をどのようにもともとめたらいいのか、
(2)ほかにもAB+BC+CAが平方数となるようなA、B、Cの表示があるのか
という２点です。
もしご存知でしたらおしえてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＞k=αβγ（α＋β）,A=αγ（α＋β),B=βγ（α＋β）
＞と仮定して上の式からCを求めるとC=αβγ（αβ-1)

全部にγが入っているから、これは無くても同じです。
k=αβ(α＋β),A=α(α＋β),B=β(α＋β),C=αβ(αβ-1)
さらに、A+B=(α＋β)^2 なのでkはα＋βの倍数でもOK。それを改めてγ(α＋β)とすると、
k=γ(α＋β),A=α(α＋β),B=β(α＋β),C=γ^2-αβ

この式は、α,β両方とも偶数か奇数なら、
α＋β=2p
α－β=2q
とおけば、
α=p＋q
β=p－q
なので、
k=2pγ,A=2p(p+q),B=2p(p-q),C=γ^2-p^2+q^2
となり、＃１の式と同じになりますが、偶奇を限定しない分だけ、
k=γ(α＋β),A=α(α＋β),B=β(α＋β),C=γ^2-αβ
のほうがよさそうです。

ほかの方法は、
C=(k^2-AB)/(A+B)=(k^2+A^2)/(A+B)-A
なので、
k^2+A^2=n(A+B)
とすると、
B=(k^2+A^2)/n-A

これをまとめると、
α^2+β^2=γδ と表すことができるとすれば、
A=α
B=δ-α
C=γ-α
AB+BC+CA=β^2

お礼

ご回答ありがとうございます。
パターンを幾通りか教えていただきありがとうございます。
参考になりました。
確かに私が最初の補足に書いた例はγがなくてもいいですね。

ご回答を参考に考えたのですが
A=f1,B=f2,とするとC=(k^2-f1・f2)/(f1+f2)の関係式から
全体を(f1+f2)倍したもの(A',B',C')=(f1(f1+f2),f2(f1+f2),(q^2-f1・f2))は
平方数でA'B'+B'C'+A'C'=(f1+f2)^2q^2

(k^2-f1・f2)/(f1+f2)に共通因数がある場合
(A',B',C')=(t*f1,t*f2,t*(q^2-f1・f2)/'(f1+f2))ただし
t*(k^2-f1・f2)/'(f1+f2)は整数という形になると思います。
A'B'+B'C'+A'C'=t^2q^2

２番目の回答でいただいた例k=γ(α＋β),A=α(α＋β),B=β(α＋β),C=γ^2-αβ
の場合はf1=α,f2=β,t=(α＋β),q=γであり、次の例A=α、B=δ-α、C=γ-αの場合は
f1=α,f2=δ－α,t=1,q=βになってると思います。最初の質問で挙げた例A=αγ^2（α＋β）、B=βγ^2（α＋β）、C=αβ（αβ－γ^2）ではf1=αγ,f2=βγ,t=γ（α＋β）,q=αβ
になってます。

丁寧な説明を頂き感謝しております。大変参考になりました。

ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

AB+BC+CA=k^2 とすると、
C=(k^2-AB)/(A+B)

p=(A+B)/2　とすると、
A=p+q
B=p-q
と表すことができる。
A+B=2p
AB=p^2-q^2
なので、
C=(k^2-p^2+q^2)/(2p)
よって、k^2,p^2,q^2が2pで割り切れればCは整数になる。

このことから求められる解の１つは、
A=2α(α+β)
B=2α(α-β)
C=β^2+γ^2-α^2
AB+BC+CA=(2αγ)^2

お礼

ご回答ありがとうございました。
丁寧に説明いただいてありがとうございました。
AB+BC+CA=k^2とおくといいのですね。
とてもわかりやすかったです。

いただいた回答はA,B,Cが２次式ですが
問題の例では４次式になっているので
この問題の例の場合もいただいた回答
をヒントに導けないか考えて見ます。

ありがとうございました。

補足

教えていただいたC=(k^2-AB)/(A+B)の式と４次の表示を参考にあてずっぽうで
k=αβγ（α＋β）,A=αγ（α＋β),B=βγ（α＋β）
と仮定して上の式からCを求めるとC=αβγ（αβ-1)
となり、うまくいきそうです。
A,B,Cはα、β、γに関して同じ次数でなくてもよいみたいです。
試行錯誤でなくうまくこのような表示を求める方法をもしおもいつかれたらお教えください。