数と式

質問

0でない実数a,b,cの間に(a＾2)=bc,(b＾2)=ca,(c＾2)=abの関係がある。
このとき,(b/a)＋(a/b)の値を求める問題で

(a＾2)=bc,(b＾2)=ca,(c＾2)=ab
の両辺を足すと
(a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)=bc＋ca＋ab
からさらにコンパクトになりそうな気がするのですがよく分かりません。
誰か教えてください。

回答No.10

kkkk2222 · ベストアンサー

＃３＝＃７＝＃９です。

＞＞2(a＾2)＋2(b＾2)＋2(c＾2)-2bc-2ca-2ab=0
これを見て唖然としました。
＃３のような、愚かな解答が悔やまれます。
そもそも、質問文の中に
(a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)=bc＋ca＋ab
と書いてあります。
何で気がつかなかったのか釈然としません。
ーーー
(a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)=bc＋ca＋ab
は著名な式です。３次方程式の一般解にまで辿り着きます。
ーーー
永遠のＬＯＯＰが怖いですが、
流石に放置できぬ式です。
ーーー
ただ、貴殿が此の式に初めてみたのであれば、多少やっかいではあります。
一行一行、よくよく思考しつつ読んで下さい。
思考なきは、無意味です。
ーーー

（Ａ＾２）＋（Ｂ＾２）＋（Ｃ＾２）－ＢＣ－ＣＡ－ＡＢ＝０
一種の平方完成です。
完全平方が３個出現します。

２（Ａ＾２）＋２（Ｂ＾２）＋２（Ｃ＾２）－２ＢＣ－２ＣＡ－２ＡＢ＝０
大丈夫ですか、なにも難解ではありません。
両辺を２倍しただけです。フォントを変えます。
(a^2)+(a^2)+(b^2)+(b^2)+(c^2)+(c^2)-2bc-2ca-2ab=0
何故こんな事をするかは、今に判ります。
目標は３個の完全平方です。
この目標のために、順序を入れ替えます。
【(a^2)-2ab+(b^2)】+【(b^2)-2bc+(c^2)】+【(c^2)-2ca+(a^2)】=0
見ているだけではダメデス、自分で書いてください。
鉛筆で９個の項を斜線（／）で消しながら、そろっているか確認してください。各【】内の形も意識して下さい。
【(a-b)^2】+【(b-c)^2】+【(c-a)^2】=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
完全平方が３個できました。
完全平方の性質は＜負にならない＞です。
【(a-b)^2】≧０、【(b-c)^2】≧０、【(c-a)^2】≧０
この三つの不等式の等号条件は、各々
【(a-b)^2】＝０、【(b-c)^2】＝０、【(c-a)^2】＝０
矢印に注目して下さい。右辺は０です。
左辺が０になるのは、各式が０のときだけです。
換言すると、等号条件成立のときです。
ここが一番肝要です。
a-b＝０、b-c＝０、c-a＝０　
戸惑っているのが目に見えます。思考するしかないです。
Ａ＝Ｂ、　Ｂ＝Ｃ、　Ｃ＝Ａ　
完成です。
あとは
Ａ＝Ｂ＝Ｃ　此れが本当の等号条件です。
Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝（０でない、任意の実数）

終わります。
ーーー
流石に、目が・・・
ＰＳ　＜用語＞は、どうでも良いです。
この問題とは無関係に、
この式の意味は深いですが、いまはＳＴＯＰ・・・

お礼

kkkk2222さん、他の方どうもありがとうございました。
こんな私のために親身になって解説なさっていただいて感謝しています。
やっとのこと理解ができました。
どうもありがとうございました

回答No.9

kkkk2222

＃３＝＃７です。

＃３は誤答でした。
ーーー
下から４行目
Ａ／Ｂ＝１
これから、ただちに
（Ｂ／Ａ）＋（Ａ／Ｂ）＝２としてしまっています。
一見正しそうに見えて、
本当は、正しくありません。
解があるとすれば、この答えで合ってはいます。
しかしながら、＜解がある保証はありません。＞
ーーー
Ａ／Ｂ＝１
Ａ＝Ｂ
このあと
＜同様にＢ＝Ｃと書けば明快＞です。
そして、
Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝（０ではない任意の実数）
と書けば、良いです。
＜これは題意を満たすと書けば、最良です。＞
ーーー
多分、何でこんなこと必要なの？
と思うかもしれません。
これを説明しだすと、永遠に終わりません。
終わります。

補足

どうもありがとうございます。
別解で
2(a＾2)＋2(b＾2)＋2(c＾2)-2bc-2ca-2ab=0
の導き方を教えてもらってもいいですか？

回答No.8

noname#101087

#5 です。
解答の最短コースは、#3 さんのものです。

--------------------------------------
行きがかり上、ご質疑へ回答しておきます。
>　a^2-b^2=(a+b)(a-b)=b-a について教えてください

これは、
>a^2=b, b^2=a となるから、ジタバタしてみる。
>　a^2-b^2=(a+b)(a-b)=b-a
>が成立する。
のことですね。この時点で c=1 がわかってましたので、a^2=b, b^2=a だとわかり、両辺の差をとっただけです。

--------------------------------------
問題の流れに沿ってそのつど考えたままを書き込んだので、混乱なさったのかも知れません。
「学問の徒」ではなく「現場人間」の数学思考とはこんなもの、と思って批判的に見ていただけると助かります。

たとえば、初めの二つの式を使えば、
　(a^3/b^3)=1
であることが即座にわかります。(a/b)=r とおけば
　r^3-1=(r-1)(r^2+r+1)
ですから、実数に限られている以上、
　r=(a/b)=1
が唯一の解です。cの値など求める必要はありません。それでも知りたければ、
(a/b)=1 を最初の二式へ入れて
　c=a^2/b=b^2/a
これの右辺二つをかけあわせれば、
　c^2=a/b=1
ともとめられます。
当方の回答は、これの逆コースでした。

回答No.7

kkkk2222

＃３です。

非常に良いタイミングの補足要求で感謝します。
また貴殿には大変申し訳ない状況です。（後述）
喜んで、回答させて頂きます。

＞＞Ｘ＾３＝１からＸ＝１

単純に、３乗して１だからＸ＝１
としても良いのですが、
此の回答は、
無意識に（他の解は虚数解である事実）を使用しています。

そこで、厳密な回答／解答は、
因数分解の必要があります。
この式に関する因数分解は、既知とします。
Ｘ＾３＝１
移項して、
（Ｘ＾３）ー１＝０
（Ｘ＾３）ー（１＾３）＝０
（Ｘ－１）（（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１）＝０
ここで
（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１＝０の解は
Ｘ＝（１／２）［ー１±（√３）i］
となり、Ｘは虚数解です。
条件より
Ａ、Ｂは実数であり、
Ｘ＝Ａ／Ｂと置いたので、Ｘも実数です。
ということは、Ｘ≠（１／２）［ー１±（√３）i］です。
残るのは、
（Ｘ－１）＝０
Ｘ＝１　しかない事になります。

ーーー
この問題とは無関係ですが、
Ｘ＝（１／２）［ー１±（√３）i］は
ω、ω＾２と表記されて、
１の三乗解（根）は、
１、ω、ω＾２　と覚えておいても良いでしょう。
ーーー
一応、誤植を訂正しておきます。
最後の行、
誤　（Ｂ／Ａ）＋（Ｂ／Ａ）＝２
正　（Ｂ／Ａ）＋（Ａ／Ｂ）＝２
ーーー
ーーー
以下を伝えたかったのです。
＜進法のスレッドとして読んでください＞
準備して置いた、原稿です。

---
ゴメンなさい。
＃２＝＃３様の指摘でエラーがあると。
ずーと考えていたのですが、
どうししても判らなくて、
出鱈目ではない事が幸いなのですが・・・
補足欄を読んで回答したかったのですが、
エラーが判らなくて、
答られないのです。
じつは＃３も上手く理解出来ないのです。
最後にＣ＝０
とありますが、
未だに何故Ｃ＝Ｏのなのかが判らないのです。
書いて居る内に判るかなと思って、
書き始めました。
条件
正の整数Nを
4進法で表すとＡＢＣ
6進法で表すとＰＱＲ
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｐ＋Ｑ＋Ｒ
４進法３０１、６進法１２１
４進法３０２、６進法１２２
４進法３０３、６進法１２３
どれも条件を満たしていると思うのですが・・・
一週間くらいしたらワカルかもしれません。
ゴメンナサイ。
投了です。
---

補足

どうもありがとうございます。
参考書の例では
2(a＾2)＋2(b＾2)＋2(c＾2)-2bc-2ca-2ab=0
から
(a-b)＾2 ＋(b-c)＾2 ＋(c-a)＾2
となるらしいのですが。
2(a＾2)＋2(b＾2)＋2(c＾2)-2bc-2ca-2ab=0
の表し方がわからなくて。
どうやって出てきたんだろうと思って
この求めかただと
(a-b)＾2≧0
となるけど
どうしてa-b=b-c=c-a=0になるのかな？
a=b=cもよく分からないんですよね

回答No.6

noname#101087

書き込んでしまってから気付きました。

>(b/a)＋(a/b)=c*{(b/a)＋(a/b)}
>ですから、c=1 じゃないといけないようです。

(b/a)＋(a/b)=0 の場合は、c を確定できません。
でも、この場合に解があるかどうかは要検討です。

補足

どうもありがとうございます。
　a^2-b^2=(a+b)(a-b)=b-a
について教えてください

回答No.5

noname#101087

>どうしてc=1 となるのでしょうか？

これはよろしいでしょうか?
　(b/a)＋(a/b)=(a^2+b^2)/ab=c*(a+b)/ab=c*{(b/a)＋(a/b)}

よろしければ、途中をショートさせます。つまり、
　(b/a)＋(a/b)=c*{(b/a)＋(a/b)}
ですから、c=1 じゃないといけないようです。

回答No.4

noname#101087

>0でない実数a,b,cの間に(a＾2)=bc,(b＾2)=ca,(c＾2)=abの関係がある。
>このとき,(b/a)＋(a/b)の値を求める問題で
>(a＾2)=bc,(b＾2)=ca,(c＾2)=ab
>の両辺を足すと (a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)=bc＋ca＋ab からさらにコンパクトになりそうな気がするのですがよく分かりません。

まず式の変形から。
　(b/a)＋(a/b)=(a^2+b^2)/ab=c*(a+b)/ab=c*{(b/a)＋(a/b)}
これは、c=1 ということらしい。
a^2=b, b^2=a となるから、ジタバタしてみる。
　a^2-b^2=(a+b)(a-b)=b-a
が成立する。

(1) a≠b ならば
　a+b=-1
　b=-(1+a)
これは NG。
(a^2=-(1+a) となり、a が複素数だヨン)

(2) a=b ならば、…これが正解らしい。

補足

どうしてc=1 となるのでしょうか？

回答No.3

kkkk2222

なんだか変なのですが、(c＾2)=abの条件が不要なのです。
他に問題があるのでは？

Ａ＾２＝ＢＣ
Ｂ＾２＝ＣＡ

上式を下式で割って、
（Ａ／Ｂ）＾２＝Ｂ／Ａ

Ａ／Ｂ＝Ｘと置いて、

Ｘ＾２＝１／Ｘ
Ｘ＾３＝１
Ｘ＝１

Ａ／Ｂ＝１
Ｂ／Ａ＝１

（Ｂ／Ａ）＋（Ｂ／Ａ）＝２
となります。

補足

Ｘ＾３＝１
から
Ｘ＝１
が分からないので教えてください

回答No.2

redowl

まだ続きが有るのですが・・・

(a^2)-(b^2)= bc-ca
(a+b)(a-b)= -c(a-b)
a+b=-c

前回と今回から。。。。

回答No.1

redowl

何故に、(a＾2)=bc,(b＾2)=ca,(c＾2)=ab　に着手？

(b/a)＋(a/b)の値を求めるのだから

=(a^2)+(b^2) ／ab
=(bc+ca)／(c^2)
以下省略。。。。

補足

(bc+ca)／(c^2)
＝(((a＋b)＾2)-2ab)/(c＾2)
=(a＋b)＾2/(c＾2) -2(c＾2)/(c＾2)
からどのように計算をするのでしょうか？