三角関数の方程式、解ける？解けない?

質問

sin(2x-1)+sin(3x+4)=0
⇔
2sin(3x-2)cos(x-1)=0
⇔
3x-2=nπ　または　x-1=π/2 + nπ

と解けますが、

sin(2x-1)+sin(3x+4)+sin(5x+6)=0

や

sin(2x-1)+√2sin(3x+4)=0

などは（近似値でなく初等関数を用いて)解けるのでしょうか?

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

たぶん無理っぽい…としか言えない。
悩ましいのは、五次以上の方程式には
解の公式が存在しないというだけで、
個々の高次方程式は代数的に解ける場合もある
ことだ。例えば、xの17乗=1 は解ける。
与えられた方程式が解けるか否かを
判定することは、一般には大変難しい。
今回の式はどうかと言えば、どうにも無理っぽい。
でも、無理であることの証明はパスしたいな。

←♯1
逆三角関数は、初等関数のうちだよ。

回答No.3

hashioogi

sin(2x-1)+sin(3x+4)=0　⇔　2sin(3x-2)cos(x-1)=0
が良く分かりません。3x-2=nπが答えだとするとn=0としてx=2/3が1つの答えになりますが、元の式に代入すると左辺はsin(1/3)、右辺はsin(6)になって一致しません。

sin(2x-1)=-sin(3x+4)
sin(2x-1)=sin(-3x-4)
2x-1=-3x-4+2nπ
5x=-3+2nπ
x=(-3+2nπ)/5
で良いのでは？

お礼

すみません。
和積公式
sinA + sinB = 2sin{(A+B)/2} cos{(A-B)/2}
を使ったのですが、自作問題をいじくっているときにへんになったようです。

sin(2x-1)+sin(3x+4)=0　
⇔
2sin(2.5x＋1.5)cos(0.5x＋2.5)=0
⇔
2.5x＋1.5=nπ　または　0.5x＋2.5=π/2 + nπ

回答No.1

noname#221368

地道な手順としては、以下のようになります。加法定理で、

　　sin(nx＋a)＝sin(nx)cos(a)＋sin(a)cos(nx)

と分解し、sin(nx)やcos(nx)にも加法定理を繰り返し適用すれば（いわゆるｎ倍角公式）、sin(x)とcos(x)のｎ乗までを含んだ、代数的な関係式にはなります。

　sinとcosの関係は、

　　(sin(x))^2＋(cos(x))^2＝1

でつければ良いのですが、cosをsinで表そうとすると、cosの奇数乗の項からはsinの√が出てきます。√は2乗して潰せばOKですが、例えば、

　　sin(2x-1)+sin(3x+4)+sin(5x+6)=0

からは、cosの5乗，3乗，1乗が出てきますので、3回の2乗を考えると、5×2×2×2＝40となり、sinの40次の代数方程式になりそうです。一般に5次方程式以上には、解の公式が存在しない（数学的に）ので、この方法が可能なのは、ｎ＝2くらいまでと思います。

　さらに運よく、sin(x)＝ｂの値が代数的に計算可能だったとしても、x＝sinの逆関数(ｂ)の値をどうやって計算するか？、という問題があります。sinの逆関数も初等関数ではあるのですが、初等超越関数と呼ばれる部類のもので、有限回の四則演算では、その値を計算できない事がわかっています。