次のような特定の積分方程式の解の一意性

質問

次のような特定のHammerstein方程式について、解fが一意に決まることを証明する方法を教えていただけないでしょうか。

f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y)^c dy,　a≦x≦b
ここでK(x,y)>0かつ連続、0<c<1とする。

ただし、条件は上に記載されているもののみです。なので、K(x,y)の絶対値の上限や区間[a,b]の長さに関する条件を与えたりするのは無しです。
解の一意性は確かに言えるらしいですが、その証明方法がわかりません。
縮小写像であることを示すのかなあと思いつつ、その方法が思いつきません。

よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

明らかにf(x) = 0は題意を満たす。

一方、例えばK(x,y) = L(x) (K(x,y)はyに依存しない）ようなKを考え整理すると、
f(x) = D * K(x) , D = ∫[a,b] (f(y))^c dyとなるから

D = (D^c) * ∫[a,b] (K(y))^c dy となってD≠0なら D^(1-c) = ∫[a,b] (K(y))^c dy で、右辺は正の(K(x)だけで決まる）定数だからこれは解ける。
従って、f(x) = ( ∫[a,b] (K(y))^c dy )^(c-1) K(x)という解があり、解は一意でない。

お礼

ご回答ありがとうございます。
問題に不備がありました。確かに、f(x)=0とnonzeroのf(x)が存在しますね。

正確な質問は、nonzeroなf(x)が一意に存在することを証明するには、でした。
失礼しました。