数列

質問

次の関係を満たす数列 {a[n]} [n=1,∞] が収束するための必要十分条件を求めよ。　
a[n+3] = 2 * a[n+1] - a[n]

解答の書き方が分かりません。お願いします。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

> これが問題の条件を満たす必要条件であることがまだ分かりません。

例えば
http://d.hatena.ne.jp/igaris/20090107/1231298177
を見ればわかるでしょう。もっと一般の場合にも似たような性質があることもわかるよね。

ついでに
a[3] = { ( 7 + 3 √(5) )a[2] - ( 3 + √(5) )a[1] } / { 2 ( 2 + √(5) ) }
は分母を有利化してごらんなさい。もっと簡単できれいになるから。

お礼

ありがとうございます。
大変助かりました。
式は簡単になりました。

回答No.3

f272

> 答に至るまでの説明の部分が書けません。

あら，そうだったの？
x^3=2x-1
の解はx1，x2，x3であり，これらを使ってこの数列の一般項は
a[n]=A(x1)^n+B(x2)^n+C(x3)^n
と書ける。ただし，A，B，Cはa[1]，a[2]，a[3]を使って書き表せる定数である。
x1，x2，x3を実際に解くと，x1=1，x2=(-1+√5)/2，x3=(-1-√5)/2となるが，|x1|<=1，|x2|<=1，|x3|>1
だからa[n]が収束するための必要十分条件はC=0である。
という感じで進めていけばどうかな。

補足

a[3] = { ( 7 + 3 √(5) )a[2] - ( 3 + √(5) )a[1] } / { 2 ( 2 + √(5) ) }
になりました。ありがとうございます。

> a[n]=A(x1)^n+B(x2)^n+C(x3)^n
と書ける。ただし，A，B，Cはa[1]，a[2]，a[3]を使って書き表せる定数である。

これが問題の条件を満たす必要条件であることがまだ分かりません。

回答No.2

f272

解答の書き方は
a[3]=XXX*a[2]+YYY*a[1]
であること，のようにすればよい。
XXXやYYYがどんな定数であるかは考えてね。

補足

誤解を招く表現ですみません。
答えは予想できるのですが
答に至るまでの説明の部分が書けません。

回答No.1

asuncion

＞a[n+3] = 2 * a[n+1] - a[n]

この漸化式は正しいでしょうか。
a(n+2)=2a(n+1)-a(n)
だったりはしないでしょうか。

補足

私も最初そう思いましたが
a[n+3] = …　で合ってます。
複雑で分かりません。
よろしくお願いします。