数列

質問

一般項が
a_n=Σ[k=1,n]10^(-k{k+1}/2)
の数列について、
(1)コーシー列であるが、
(2)有理数Qの中では収束しない
という問題です。

これがコーシー列であることは
m,nをとって、
|a_m - a_n|
=|Σ[k=m+1,n]10^(-k{k+1}/2)|
となり、m,n→∞とすれば
→0となるので、示せたと思うのですが、
この数列が有理数Qの中では収束しないことを、
どのように示したらよいのかわかりません。
どうぞ、お教えください。

回答No.3

minardi · ベストアンサー

補足です。

a_n=Σ[k=1,n]10^(-k{k+1}/2)ついて
a=lim[n→+∞]{a_n}とおく、このとき

0≦a-a_q
=lim[n→+∞]Σ[k=q+1,n]10^(-k{k+1}/2)
=lim[n→+∞]Σ[k=(q+1)(q+2)/2,n]10^(-k)
≦10^{(q+1)(q+2)/2}/(1-1/10)

また、
a_q=Σ[k=1,q]10^(-k{k+1}/2)
=10^(-q{q+1}/2)Σ[k=1,q]10^(q{q+1}/2-k)

これより、極限値aから分母が10^(q{q+1}/2)の数a_qをひくと
(10/9)10^{(q+1)(q+2)/2}以下の負でない数になることがわかるが
これはaの小数第10^(q{q+1}/2)+1位から小数第10^((q+1)(q+2)/2)-1位まで
0がならぶことを示している。
このときすくなくとも0がq-1個ならぶ。
q任意に大きくできるので、極限値は循環しない小数になる。

自明のような気もしますが、証明したほうがよいのでしょうか？

お礼

有理数でないことを示すのは
循環小数でない、とだけいえば
いいのでしょうね。
ありがとうございました。

回答No.2

minardi

極限値が有理数で表せるとすると
p/q(p,qは互いに疎な自然数)
とおいて
p÷qを計算するとあまりはq-1種類(0を除く)しかないので
割り切れないならq-1回以内で同じ数が出てくる。
というのはどうでしょうか。

回答No.1

minardi

極限値が
0.101001000100001…
と、1と1の間の0の数が1つずつ増えていて
循環しないので有理数ではないと思います

補足

私もそのように思いますが、
具体的な証明としての方法が
思いつかないので困っています。

背理法で示せそうな気がするのですが
やっぱりいい方法が見つかりません。