外心と内心が一致する三角形は正三角形

質問

外心と内心が一致する三角形は正三角形
ということをベクトルを使って示そうと考えています。

△ＡＢＣの3つの頂点が原点を中心とする単位円上にあるとして、
ベクトルＯＡ＝a
などとおきます。

このとき、|a|=|b|=|c|=1
内心の位置ベクトルは(|b-c|a+|c-a|b+|a-b|c)／(|b-c|+|c-a|+|a-b|)で、それが外心の位置ベクトル0と一致するので、
|b-c|a+|c-a|b+|a-b|c=0

これらを使って、
a・b=b・c=c・aとか、|a-b|=|b-c|=|c-a|に変形できれば正三角形であることが言えると思いました。

|b-c|a+|c-a|b+|a-b|c=0
から
|b-c|a+|c-a|b=-|a-b|c
2乗して、|a|=|b|=|c|=1を使い、
(2-2b・c)+(2-2c・a)+2|b-c||c-a|a・b=2-2a・b
移項して、
(|b-c||c-a|+1)a・b=c・a+c・b-1
うまくいきそうにないので別の変形をして
|b-c||c-a|a・b=c・a+c・b-c・c-a・b
|b-c||c-a|a・b=-(c-a)・(c-b)
a・b=-(c-a)・(c-b)／|b-c||c-a|

どうやってもa・b=b・c=c・aとか、|a-b|=|b-c|=|c-a|に変形できそうにありません。
ベクトルを使うこの方法で、いいアイデアがありましたら教えてください。

回答No.5

stomachman

ANo.2へのコメントを拝見して、ようやくご質問の問題意識が見えました。ただの練習問題じゃなかったんですね。
　2次元なら3つの辺の対称性を考える以外にありませんが、3次元の話になると、辺の対称性を考えるのか、面の対称性を考えるのかでアプローチが違って来る。でも、正四面体の話に素直に繋げるには面の対称性を考える方が良いでしょう。Oを「外心」とする四面体の頂点を表す単位ベクトルa,b,cを使って、面を
　a+(b-a)s+(c-a)t　　(0≦s≦1, 0≦t≦1)
とパラメータ表示できる。もちろんこれを、a, b-a, c-aを並べた行列として表すことができます。で、原点Oからこの面に下ろした垂線の足を表すベクトルmを使って、「内心」の話をする。
　すると、4次元では、面じゃなく正四面体の対称性が問題になり、
　　a+(b-a)s+(c-a)t+(d-a)u
と考えれば良いかな。4次元ですんで「正四面体に下ろした垂線の足」はベクトルmで表せる。これがうまく行くのなら、何次元でも同じと言えそうです。

回答No.4

stomachman

ANo.3訂正です。

> h = |a-((a・r)/(|a||r|))(r/|r|)| = …

てのはまちがい。「aから、rと平行な成分を除いたベクトルの長さがh」という話であり、|a|は要らなくて、
　　h = |a-((a・r)/|r|)(r/|r|)|
です。この場合は|a|=1だから影響ないんですが。

回答No.3

stomachman

ANo.2のバリエーションです。

　もし、内心は辺までの距離hが全部同じだ、ということを使っちゃっても良ければ、という話です。

　まずa≠b, b≠c, c≠a, |a|=|b|=|c|であるとし、
　　p=b-c
　　q=c-a
　　r=a-b
と書く事にします。そして、Oに内心があって、Oから辺までの距離hが全部同じだとします。すなわち
　　h = |a-((a・r)/(|a||r|))(r/|r|)| = |b-((b・p)/(|b||p|))(p/|p|)| = |c-((c・q)/(|c||q|))(q/|q|)|
ここで、
　　a・r = a・(a-b) = |a|^2 - a・b = 1-a・b
　　|r|^2 = (a-b)・(a-b) = |a|^2+|b|^2-2a・b = 2(a・r)
であるから、|a|=1を使って、
　　h^2 = ( a - ((a・r)/(|r|^2))r )・( a - ((a・r)/(|r|^2))r )
　　= |a|^2 - 2((a・r)/(|r|^2))(a・r) + (((a・r)/(|r|^2))^2)(|r|^2)
　　= 1 - 2((a・r)/|r|)^2+ ((a・r)/|r|)^2
　　= 1 - ((a・r)/|r|)^2
　　= 1 - (a・r)/2
　　= 1 - (1-a・b)/2
　　= (1+(a・b))/2
同様にして、
　　h^2 = (1+(a・b))/2 = (1+(b・c))/2 = (1+(c・a))/2
だから、
　　a・b = b・c = c・a

回答No.2

stomachman

三角関数を表に出さないようにやりたい、ってことでございましょう。
　ご質問の通り、三角形の外心がOにあって頂点が単位円周上にある、つまりa≠b, b≠c, c≠a, |a|=|b|=|c|=1であるとしましょう。
　作業用として
　　p=b-c
　　q=c-a
　　r=a-b
と書く事にします。ここでスカラー
　　α = (-a)・(-r)/(|a||r|)
　　β' = (-b)・r/(|b||r|)
を考えると、
　　α = a・(a-b)/(|a||r|) = (|a| - (a・b)/|a|)/|r|
　　β' = - b・(a-b)/(|b||r|) = (-(b・a)/|b| + |b|)/|r|
|a|=|b|=1だから、
　　α = β' = (1 - (a・b))/|r|
（これを図形の上で見れば、「⊿ABOがOを頂角とする二等辺三角形であるということから、α=cos(∠OAB)とβ'=cos(∠OBA) とが等しい、ということを導いた」ってだけの話です。）
　同様に
　　β= (-b)・(-p)/(|b||p|)
　　γ' = (-c)・p/(|c||p|)
　　γ= (-c)・(-q)/(|c||q|)
　　α' = (-a)・q/(|a||q|)
とすれば、
　　β = γ' = (1 - (b・c))/|p|
　　γ = α'= (1 - (c・a))/|q|
である。

　いよいよ、この三角形の内心もまた原点Oにあるとしましょう。えーと、Oが内心であるとは、すなわち「三角形の角の二等分線が全部Oを通る」ということでしたから、
　　α=α'
　　β=β'
　　γ=γ’
である。なので、α=β=γ=α'=β'=γ'である。この値をωとしましょう。
　　(1-a・b)/ω = |r|
を2乗して、
　　((1-a・b)/ω)^2 = |r|^2 = (b-a)・(b-a) = |b|^2+|a|^2 - 2b・a　= 2(1-a・b)
であるから、
　((1-a・b) - 2(ω^2))(1-a・b) = 0
すなわち、a・b = 1 と 1-a・b=2(ω^2) が解になりますが、|a|=|b|=1, a≠bなのだからa・b ≠ 1。従って
　　a・b=1- 2(ω^2)
であると決まります。同様に
　　b・c=1- 2(ω^2)
　　c・a=1- 2(ω^2)
である。つまり
　　a・b=b・c=c・a
です。

お礼

丁寧なご回答に感謝します。

質問のきっかけは、三角形や四面体、などの図形的な性質を証明するには、座標、三角比、複素数、ベクトルがあるが、高次元でのことを考えるとベクトルが一番よさそうで、また、できれば機械的な代数計算のみで示したいということでした。

平面上で3つの単位ベクトルa,b,cを考えたとき、その内積a・b、b・c、c・aには相互関係があることに、最近気づきました。
αa＋βb＋γc=0
となる実数α、β、γ（ただし、(α、β、γ)≠(0,0,0)）がある。aと内積すると、|a|^2=1から、
α1＋β(c・a)＋γ(c・a)＝0
同様に、b、cと内積すると、
α(b・c)＋β1＋γ(b・c)＝0
α(c・a)＋β(b・c)＋γ1＝0

(α、β、γ)≠(0,0,0)なので、次の3×3行列の行列式は0
|1,(c・a),(c・a)|
|(b・c),1,(b・c)|
|(c・a),(b・c),1|

つまり、 2(a・b)(b・c)(c・a)-(a・b)^2-(c・a)^2-(b・c)^2+1＝0

この相互関係と、|a|=|b|=|c|=1、を恒等式とし、a≠b、b≠c、c≠aを前提とし、
僕の最初の疑問|b-c|a+|c-a|b+|a-b|c=0⇒a・b=b・c=c・a
を機械計算で導くことができました。とても面倒で、途中で3変数4次と3次の連立方程式や6次方程式が出てきたりしました。

それに対し、No.1さんの回答を僕なりに解釈すると円周角の定理をベクトルで表した式を恒等式としてうまく使われていました。内心＝外心という条件は、BCa+CAb+ABc=0と扱われていました。

それに対し、No.2のstomachmanさんの回答は、△ABOがOを頂角とする二等辺三角形であるから底角が等しいということをベクトルで表した式を恒等式としてうまく使われていました。
内心＝外心という条件は、「三角形の角の二等分線が全部Oを通る」と扱われていました。

No.3のstomachmanさんの回答は、
内心＝外心という条件は、「外心から三角形の各辺への垂線の長さは等しい」と扱われていました。

ちなみに、四面体では、「内心＝外心⇒等面四面体」のようです。4次元ではどうなるのかは知りません。
高次元では、円周角の定理に相当する概念や、角の二等分線上に内心があるに相当する概念はなさそうなので、No.3のstomachmanさんの回答のようにやるのがよさそうです。

四面体の場合、僕の扱い方では、内心＝外心を|△BCD|a+|△CDA|b+|△DAB|c+|△ABC|d=0と表しますが、面積はグラム行列を使って内積で表すことができますが、大変すぎてやる気が起きません。

n次元での同様の問題を一気に扱えるような上手な概念があるとよさそうですが。

また、副次的に考えたことがありますので、紹介します。
平面で3つの単位ベクトルa、b、cの内積の相互関係
2(a・b)(b・c)(c・a)-(a・b)^2-(c・a)^2-(b・c)^2+1＝0
と同様に、3次元で4つの単位ベクトルa、b、c、dの内積6つの相互関係も行列式＝0で書けます。
ベクトルaの始点を原点O、終点をAなどとすると、
a・bは単位球面上での弧ABの長さを表します。
単位ベクトルa、b、c、dの内積の相互関係は、単位球面上の球面四角形ABCDの6辺の相互関係を表します。
ここで、3点A、B、Cを固定し、Dを球面三角形ABCの外心に移動させると、弧DA＝弧DB＝弧DC(＝Rとおく)なので、
相互関係はRの方程式となり、それを解けば、Rを弧AB、弧BC、弧CAで表すことができます。
そうすると今度は、球面三角形の内接円の半径の導出公式も知りたいですが、まだまだ不明。

回答No.1

151A48

面倒なので|b-c|はBCのように置きます。
以下紛らわしい書き方ですが意をくんで下さい。
BCa+CAb+ABc=0 より　a=(CAb+ABc)/BC。|a|=1なので
絶対値をとって　|CAb+ABc|=BC　。２乗して
CA^2+2CA×ABb・c+AB^2=BC^2 変形して
b・c=-(AB^2+CA^2-BC^2)/2AB×CA
これはcos∠BOC=-cosA を表す（余弦定理）。∠BOC＝２Aなので
cos2A=-cosA
2(cosA)^2-1=-cosA を解いてcosA=1/2,-1
A=60°（１８０°は不適）
同様にしてB,Cも６０°
よって正三角形。
というのはどうでしょう。参考まで。

お礼

ありがとうございます。
僕はOを始点にして、すべての式をベクトルOA、OB、OCで表しましたが、
この問題に限ってはベクトルAB、BC、CAで表したほうがうまくいくようですね。

前提の
|a|=|b|=|c|=1、|b-c|a+|c-a|b+|a-b|c=0
をベクトルの始点と終点を用いて書き直すと、
|OA|=|OB|=|OC|=1、|BC|OA+|CA|OB+|AB|OC=0
第二式から
OB・OC=-(|AB|^2+|CA|^2-|BC|^2)／2|AB||CA|
左辺を変形して
OB・OC／|OB||OC|=-(|AB|^2+|CA|^2-|BC|^2)／2|AB||CA|
左辺は幾何学的にはcos∠BOCを意味し、円周角の定理より
cos∠BOC=cos2∠BAC=2cos^2∠BAC-1
つまり、
OB・OC／|OB||OC|=2{(|AB|^2+|CA|^2-|BC|^2)／2|AB||CA|}^2-1
という恒等式が成り立つことが予想されるが、大変ながらも単純なベクトル計算で確認できる。
しかし、そのとき、a・b、b・c、c・aの間に成り立つ関係式を使わなくてはいけない。
それは幾何学的には、
b・c
=cos∠BOC
=cos(360°-∠AOB-∠AOC)
=cos(∠AOB+∠AOC)
=cos∠AOBcos∠AOC-sin∠AOBsin∠AOC
=(a・b)(c・a)-√{1-(a・b)^2}√{1-(c・a)^2}

{1-(a・b)^2}{1-(c・a)^2}={(a・b)(c・a)-b・c}^2

1-(a・b)^2-(c・a)^2-(b・c)^2=-2(a・b)(b・c)(c・a)

を意味するが、それは単純なベクトル成分計算だけで確認できると思われます。
この恒等式も前提にしておいたほうがよいと反省しています。

あとは、
-(|AB|^2+|CA|^2-|BC|^2)／2|AB||CA|=2{(|AB|^2+|CA|^2-|BC|^2)／2|AB||CA|}^2-1

|AB|^2+|CA|^2-|BC|^2=|AB||CA|

を導き、対称性より、文字を入れ替えた式と連立し、最終的に

|AB|=|BC|=|CA|

を導くことができました。三角比などを用いて幾何学的に解くより簡単な方法もありますが、今回は純粋なベクトル計算のみで示すことにこだわりました。