数学の問題教えてください

質問

（１）ｙ＝sinxの第n次導関数をnを用いて表してください。

（２）これが正しいことを数学的帰納法で証明してください。

回答No.2

hugen · ベストアンサー

x=cosθ , y=sinθ
⊿x=cos(θ+h)-cosθ , ⊿y=sin(θ+h)-sinθ
点A=(cosθ,sinθ) , P=(cos(θ+h),sin(θ+h))
点Q＝(⊿x/⊿θ,⊿y/⊿θ)　と　すると
OQ=AP/⊿θ=弦/弧　→　1　（　P　→　Q　）
∠OQ　→　∠OA+90°　　　で
点Q　→　(cos(θ+π/2),sin(θ+π/2))
dx/dθ=cos(θ+π/2) . dy/dθ=sin(θ+π/2)

回答No.1

mizutaki5654

試しに微分していくと
y = sin(x)
y^(1) = cos(x)
y^(2) =-sin(x)
y^(3) =-cos(x)
y^(4) = sin(x) = y
y^(5) = cos(x) = y^(1)

とsin(x),cos(x),-sin(x),-cos(x)を循環しますね。
ここで
　　sin(θ＋π/2)＝cosθ
　　sin(θ＋π)　＝－sinθ
　　sin(θ＋3π/2)＝－cosθ
　　sin(θ＋2π) ＝sinθ
ということを使えば
y^(n) = sin(x + nπ/2)
ということがわかるはずです。

(2)の帰納法は簡単です＾＾
　　y^(k)=(y^(k-1))'
であることを使えばできると思います。