数学的帰納法の問題

質問

数学的帰納法を用いて以下の不等式を証明する問題で、n=k+1のときの証明でk(2k+1)/2+√(2k+1)(2k+2)と(k+1){2(k+1)+1}/2の大小を比較するのはなぜですか？

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n＜n(2n+1)/2

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n＜n(2n+1)/2
n=kのとき成り立つと仮定すると
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k＜k(2k+1)/2

ここで両辺に√(2(k+1)−1)・2(k+1)を加えると
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2(k+1)−1)・2(k+1)＜k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)　……①

目的は
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2(k+1)−1)・2(k+1)＜(k+1)(2(k+1)+1)/2　……②
を証明することでしたね。

ですからここで
①の右辺の k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)と
②の右辺の (k+1)(2(k+1)+1)/2
で
k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)＜(k+1)(2(k+1)+1)/2
となってくれれば②が証明されることになります。
（①の右辺＜②の右辺だから）
√1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2(k+1)−1)・2(k+1)＜k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)＜(k+1)(2(k+1)+1)/2

だからご質問のような大小比較をするのです。