次の二次関数の問題が分かりません。

質問

二次関数y=4x(x-a)の0≦x≦1における最大値および最小値を示せ。

詳しい回答をお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

2次関数での最大値と最小値を求める問題は2つのパターンがある。
(1)　xの変域は決まってるが、軸が動く場合
(2)　軸は決まってるが、xの変域が動く場合
従って、この問題は(1)に該当する。y=4x(x-a)＝4(x-a/2)＾2-a＾2＝f(x)

最大値をＭ、とし最小値をＮとする。先ず、この2次関数をグラフに描いてみる。0≦x≦1だから
(1)　a/2≧1の時　Ｍ＝f(0)、Ｎ＝f(1)。
(2) a/2≦0　の時　Ｍ＝f(1)、Ｎ＝f(0)。

と、ここまでは簡単。
(3)　0≦a/2≦1/2　の時　Ｎ＝f(a/2)。Ｍ＝f(1)、
(4)　1/2≦a/2≦1　の時　Ｍ＝f(0)、Ｎ＝f(a/2)。　以下は、これを纏めるだけ。

変域の中間の値が分岐点になる事は覚えて置いたらよい。

回答No.2

noname#150695

No.1の訂正です
最後の
＞最大が8-4/a
が
最大が8-4a
でしたね
すみません

回答No.1

noname#150695

y=4x(x-a)を
微分(x^3+普通の数字=3x^2
x^2+普通の数字=2x
x+普通の数字=1
普通の数字=0にすること
なお、式の右上に'をつけると微分したって目印になる)すると
y'=8x-4a=8(x-a/2)
0≦x≦1より左端と右端をxに代入すると
8(-a/2)または8(1-a/2)

8(-a/2)=-a/4
または
8(1-a/2)=8(2/2-a/2)=8-4a
よって-a/4、8-4aのどちらかが最大、あまった方が最小

ここで、y'=8(x-a/2)に注目する
このグラフは、傾きが正、つまり常に上昇しつづけるから、xが小さいほど方程式の値、yも小さくなる
今回の場合0≦x≦1なので、x=0が最小、x=1が最大となる
よって、先ほど出した
8(-a/2)=-a/4
または
8(1-a/2)=8(2/2-a/2)=8-4a
より、
最小が-a/4
最大が8-4/a

微分が分からなかった場合、私も微分を使わない方法が分からないので…すみませんが、他の方に聞いてください
また、私の回答が間違いの可能性もありますので、できれば確認してみてください
ただ、分からないところがあれば追って説明いたしますね