次の問題を問いてください、お願いします!

質問

次の二次関数に最大値・最小値があれば、それを求めなさい。
また、そのときのＸの値を求めなさい。

問1　ｙ＝Ｘ＾２－６Ｘ＋９

問２　ｙ＝－２Ｘ＾２＋２Ｘ＋１

回答No.1

noname#208225 · ベストアンサー

これは右辺を『平方完成』といって、(x-a)^2の形にすることを目指す問題です。教科書の該当箇所にも説明がありますから、参考にしてみてくださいね。

まず、中学校で習った因数分解の式は覚えていますか？
x^2 + 2ax + a^2 = (x + a) ^ 2 、 x^2 - 2ax + a^2 = (x - a) ^ 2　、 x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)等の式があったと思います。問１はこれらのうち、どれかの型にあてはまりますね。問２は一筋縄ではいかなそうですね。

まず、平方完成の流れを書いておきます。教科書にも載っていると思います。最終的には自力で書けるようになると良いですね。
y = ax^2 + bx + c　⇒（xが含まれている項をaでくくり、定数項c（ふつうの数字）は、とりあえず放置します。）
　= a(x^2 + b / a x ) + c　⇒（これでは２乗の形には持って行けない・・・困った。）

ここで、無理やり x^2 + 2ax + a^2 = (x + a) ^ 2　の　2ax　の形を作り出すために、ax = 2ax × 1/2とします。すると、
= a (x^2 + 2 b/2ax) + c　⇒（こんどa^2をつくりだすために、a^2を作り出します。作り出した分は引いておきます。）
= a (x^2 + 2 b/2ax + b^2 / 4a) + c - b^2 / 4a　⇒（これでカッコ内を２乗の形にすることができます。）
= a (x + b / 2a)^2- （ b^2 - 4ac ）/ 4a

このグラフの頂点の座標は、x = - b / 2a 、　y = - （ b^2 - 4ac ）/ 4a　となります。判別式D = b^2 - 4ac ですが、グラフの頂点のy座標を - D / 4a　とも表せます。グラフの頂点がx軸より上にあるか、下にあるかで ｘ軸との交点の数が変わってきます。x軸との交点の数を調べるときは、判別式か、グラフの頂点のどちらかで求めることができます。

これらを活用していきます。長文失礼しました。

問１ y = x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2・3x + 3^2 = (x - 3)^2 となり、下に凸のグラフであることが分かります。図を描いて確かめてみましょう。上に伸びるので最大値は無し、最小値は x = 3 の時に、y = 0 となります。

問２ y = -2x^2 + 2x + 1 = -2 (x^2 - x) + 1 = -2 (x^2 - 2 ・1 / 2x ) + 1 = -2 (x^2 - 2 ・ 1/ 2x + 1/4) + 1 + 1/2 = -2 (x - 1/2)^2 + 3 /2　となります。上に凸のグラフです。図を描いて確かめてみましょう。下に伸びるので最小値は無し、最大値はx = 1/2　の時に、ｙ = 3 / 2 となります。