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２００５年東大 整数問題
3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 赤本では a^2-a=a（a-1）と分解しaと（a-1）が互いに素である・・・(1)という証明から はじまります。 (1)を求めようと考える必然性はありますか？ 因みに私は合同式でやってみました。↓ a=2m-1（２≦ｍ≦５０００） a^2-a=4m^2-6m+2 ∴4m^2-6m+2≡１００００ でいきづまりました。 (1)の必然性 と 別解として、合同式での解き方を どうか教えて下さい。
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- WiredLogic
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＞a^2-a=a（a-1）と分解しaと（a-1）が互いに素である・・・(1)という証明から ＞はじまります。 ＞(1)を求めようと考える必然性はありますか？ 証明までせんといかんか？とは思いますが、 「必然性」というより、そこに目がいかないと、 実際、aを絞り込むことは(a=2m+1などとおいて、 mを絞り込むことも)難しいので、結局行き詰るかと。 で、合同式を使う、その後のやり方を書こうかと思ってましたが、 ちょっと思い出して、東進の大学入試問題過去問データベースを見たら、 その解答例が、ちょうどご希望に叶いそうな奴でした。 (ここは、証明はせず、ほとんど自明のような書き方を していました。赤本と言うのが、文字通りの教学社の奴だと、 数学の解答例がややおおげさな傾向があったりします) ここは、会員登録しないと、中身は見られませんが、 無量で、会員資格なども特にうるさいことはないので、 よかったら、登録してご覧になるといいかも。 URLは、http://www.nyushimondai.com/です。
お礼
thank you!
- DJ-Potato
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a^2-aが10000で割り切れる、ということは、a^2-aを素因数分解した時に、５と２が最低でも４つずつ出て来るということです。 aと(a-1)は、２以上の連続する２整数なので、必然的に互いに素なのですが、定義よりaは奇数、つまり(a-1)は偶数です。 となれば、４つの５はaから ４つの２は(a-1)から出て来る、ということになります。 つまりaの候補は、5^4=625の奇数倍、3～9999であれば高々８個です。 解き方が美しいとは思いませんが、８個なら列挙しても許される数ですね。 ちなみに、3～9999となっているのは、 aが10000を超えると、aが5^4の倍数でなく、(a-1)が10000の倍数である場合 つまりa=10001, 20001・・・などの可能性が出て来るためではないでしょうか。
お礼
best answerにしようと思ったぐらい論理的です。 私の要求していたことを汲んでいただきありがとうございます！
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
その赤本のやり方は、計算量も答案の文章も コンバクトに済ませられて、気のきいた解法 だと思います。しかし、どんな解法にせよ、 必然ということはないでしょう。 常に、別解はありえるのだから。 貴方の「合同式を用いた方法」ですが、 a を勝手に奇数と決めてしまっているのは a が偶数の場合は後で出てくるのだとしても、 ≡10000 の部分はイタダケナイ。 それは、単なるデタラメでしょう。 その式を立てた根拠は、何ですか？ 合同式を使うとすれば、aa-a=10000n から 何か 10000 の約数を法として aa-a≡0 となり、 これを使って a の剰余を絞り込んでゆく ことになるかと思いますが、その際、 10000 が 2 や 5 で何回も割りきれることが 難点となり、あまりスバッとはいきません。 10000 でなくて、素数の積のような数なら 上手くゆくんですがね。
お礼
合同式は便利なものという 曖昧な知識で用いてしまいました。 alice 44サンの ・・・合同式を使うとすれば、aa-a=10000n から 何か 10000 の約数を法として aa-a≡0 となり、 これを使って a の剰余を絞り込んでゆく ことになるかと思いますが、その際、 10000 が 2 や 5 で何回も割りきれることが 難点となり、あまりスバッとはいきません。 10000 でなくて、素数の積のような数なら・・・ が参考になりました！！
お礼
私の要求していた答えでした！！！！ 数学の先見性を磨く上で参考になる答えでした！ ありがとうございました！