整数問題

質問

正の整数nに対して、1以上n以下の整数で、nとの最大公約数が1
になるもののすべての和をs(n)とするとき、s(n)が素数となるすべての
nを求めよ。

n=3以外にはないように思いますが、答えはあっているでしようか。
考え方はnとaが互いに素の場合、nとn-aも互いに素であることを
使いました。

回答No.2

noname#133363 · ベストアンサー

たぶん合ってるんじゃないっすか。
s(n)の和に現れる項の数が2kの場合s(n)=knである、ということに注目するんだよね。
細かいところが詰められてるかは、もちろん分からない。

お礼

回答ありがとうございます
分かったと思いましたが、詰めが甘いところがありました。
nが偶数のときはa+(n-a)=nより、s(n)は偶数になる。
nが奇数のときは、・・・・ここのつめが甘かったです。
どう処理すればいいのか。教えてもらえればと思います。

回答No.8

alice_44

2k = φ(n) より 2・1 = n - 1
は、反則なんだろうな。

回答No.7

Tacosan

ん～, 確かに
「5=<nの素数だとすると、明らかに、偶数は互いに素となるから、k>=2になる」
はちょっと気になるかな. n が素数なら「1以上n以下の整数で、nとの最大公約数が1になるもの」って「1～n-1 までの全ての整数」と同じことで, その和は n[(n-1)/2] だよね. 偶数だけを取り出す必然性はないと思う.

まあ「5=<n」という書き方もなんか気になる. どうせなら「5 <= n」じゃないかなぁ.

お礼

回答ありがとうございます
おっしゃる通り
わざわざ偶数にしなくても良かったです。
ｎが素数なんだから。

回答No.6

koko_u_u

微妙に気になる点もあるけど、あとは経験で何とかなるかな。

回答No.5

koko_u_u

> nとaが互いに素のとき、nとn-aは互いに素だから、
> nと互いにに素な数の個数は偶数になるから

a と n-a が等しくならないことが説明できていません。

> k=1かつn素数・・・この場合は、n=3
> k素数かつn=1・・・これを満たすkは存在しない

この辺も説明をはしょりすぎです。
もっと丁寧な論証を目指すと良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
a と n-a が等しくならないことが説明できていません。
このことが、示されないと互いに素になる数の個数が偶数と
言えないのですね。
a=n-aだとすると、2a=nとなり、aとnは互いに素とならない。
> k=1かつn素数・・・この場合は、n=3
5=<nの素数だとすると、明らかに、偶数は互いに素となるから、k>=2になる

回答No.4

koko_u_u

とりあえず、その詰めの甘い解答を全文載せてほしい。
あなたの解答を想像で補ってアドバイスするのって面倒だし、たぶん間違える。

お礼

回答ありがとうございます。
nが奇数、偶数で場合分けする必要はなかったです。

nとaが互いに素のとき、nとn-aは互いに素だから、
nと互いにに素な数の個数は偶数になるから、2kとおくと
a+(n-a)=nに注意すると、s(n)=kn.ここでknは素数だから、
考えられるのは、次の２つの場合となる。
k=1かつn素数・・・この場合は、n=3
k素数かつn=1・・・これを満たすkは存在しない

回答No.3

alice_44

kn が素数であることから、
n が素数であることと
k が 1 であることが言えるけれど？

お礼

回答ありがとうございます
knが素数にならないといけなかったことを、見落とししてしまいました。
n偶数、奇数で場合分けする必要が無かったです。
解決しました。

回答No.1

koko_u_u

> 考え方はnとaが互いに素の場合、nとn-aも互いに素であることを使いました。

もっと詳しく補足にどうぞ。

お礼

回答ありがとうございます
つめが甘かったです。
nが偶数のときはa+(n-a)=n偶数で、s(n)が偶数になるので素数でない。
nが奇数のとき、・・・・ここの詰めがあまかったので、証明しきれていません。
教えてもらえればとおもいます。