整数の問題です。(10^n)+1は素数か？

質問

趣味数学なので特に至急というわけでもございませんが、
私はすでにギブアップなのでどなたか助け舟お願いします。
聞けるような人もいないのです。
自分で作って解けなかった問題です。

Q.
1000…001のうち素数であるものを求めよ.

10^n+1として、ほとんどは因数分解できました。
下の方に書いておきます。

残るは、nが2のべき乗のときだけなのです。
10^(2^m)+1だけは分解の手段が思いつきません。
もしかすると素数となる条件などないのかもしれません。
皆様のお知恵拝借、よろしくお願いします。

Prf)　（未完）
　10^n + 1 … (*)　　(n=1,2,…)

case1) nが奇数の場合

　x^n+1 = (x+1)(x^(n-1)-x^(n-2)+…+1)

　上のように因数分解できる
　上にx=10を代入すれば、この場合(*)が11を因数に持つことがわかる

　∴ n=1のとき(*)は素数、nが3以上の奇数の時(*)は素数でない

case2) nが偶数、かつ奇数を因数に持つ場合(n=even∧n≠2^m)

　このとき、奇数oと偶数eを用いて、n=eoと表せる
　よって

　x^n = x^eo = (x^e+1)(x^e(o-1)-x^e(o-2)+…+1)

　上のように因数分解できる。ただしe≧2、o≧3、n≧6
　上にx=10を代入すれば、この場合(*)が10^e+1を因数に持つことが分かる

　∴n=even∧n≠2^mのとき、(*)は素数でない

case3) n=2^m の場合(m=0,1,2,…)

　10^1 + 1 = 11 … prime (case1)
　10^2 + 1 = 101 … prime
　10^4 + 1 = 10001 = 73*137 … notprime
　10^8 + 1 = 100000001 … 17で割れる … notprime
　　　：
　　　：
　　　？

(primeが11と101のみなら個人的にうれしい)

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

いわゆる「一般化フェルマー素数」ってやつだね.

素数かどうかの簡単 (?) な方法はあると思うけど, 一般論はないはず. ちなみに 2^20 までは素数じゃないらしいよ.

参考URL：

http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/status.html

お礼

フェルマー数は知っていましたが、なるほどこれもほぼ同じですね……視野が狭かったです。
フェルマー数同様に因数は必ずk・2^(n+1)+1の形をしてることがわかりますね。しかし進展なし。
10が素数でないので何かしらの分解は出来そうな気がするのですが……

回答No.2

Tacosan

あ, もうちょっと新しいのがあった. 10^(2^23)+1 までは素数じゃないことが確定, そこから先は「わかっているものもある」という状況のようです.

結局のところ, フェルマー素数と同じで「よくわかっていない」んじゃないかな.

参考URL：

http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/W.Keller/GFN10.html

お礼

フェルマー数と同じ議論しかできないのが苦しいですね……
詳しく調べていただきありがとうございました！