難しい積分（三角関数を含む場合分け）

質問

F(x)=1/(a+bsinx)とおくとI=S F(x)dxの解き方を教えて欲しいです。D=b^2-a^2のとしD>0 D=0 D<0の３つの場合分けがあるそうです。ここでtanx/2=tとおき、x/2=Arctantからsinx=2t/(1+t^2)になりました。よってF(t)=2t/(at^2+2bt+a)となりここのときのI=S F(t)dtから分からなくなってしまいました・・・誰か分かる方お願い致します。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

I＝∫ 2/(at^2+2bt+a)dt のb^2-a^2＜０の場合ですが
I＝∫ 2a/(a^2t^2+2abt+a^2)dt＝∫2a/{(at+b)^2+a^2-b^2}dt
at+b＝(√(a^2-b^2))tan(u)とおくと
I＝2a/(a^2-b^2)×∫1/(1+tan(u)^2)×(√(a^2-b^2))/a×(1+tan(u)^2)du
＝2/(√(a^2-b^2))∫du＝2u/(√(a^2-b^2))

定積分なら、積分範囲の変換によりＯＫですが
不定積分なら、uをｘで表せばよいわけですが……；

お礼

ありがとうございました。大変勉強になりました。

回答No.1

tarame

まず最初に
＞tan(x/2)=tとおくと、sinx=2t/(1+t^2)となる
これはよいと思います。

＞よって、F(t)=2t/(at^2+2bt+a)となり
なんですが、F(x)＝(1+t^2)/(at^2+2bt+a)となりますね。

＞このときのI=S F(t)dtから分からなくなってしまいました
t=tanx/2 とすると dt=1/2(cosx/2)^2dx=(1+t^2)/2dx
∴dx=2/(1+t^2)dtより
I=S 2/(at^2+2bt+a)dt (置換積分)になるかと思います。

ここからは前回に質問していた内容と同じかと思われます。
もう少し詳しく解説したいところですが、いったん離れます。（急用です）

補足

たびたびありがとうございます。この問題とさっきの問題の(1)(2)はとけましたが、両方とも(3)が解けません・・・続きお願いできませんか？