三角関数の周期 sin^n(x)、cos^n(x)

質問

教えていただきたいことがあります。
　タイトルにも書きましたが、たとえばsin^4(ax)、cos^6(ax)の周期はどのように
求めるのでしょうか。
　また、一般化したsin^n(ax)、cos^n(ax)の周期も同様に求めるにはどのようにするの
でしょうか。
　ネットなどで調べてみたのですが、私の分かる範囲では見つかりませんでした。
　よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

テキストだけで書く場合には、sin^n(x)より、(sinx)^n, (sin(x))^n のような書き方の方が誤解されにくいかと思います。

sin(x)の周期は、2π、
a＞0のとき、sin(ax)の周期は、2π/a なのは、大丈夫なんですよね。

|sin(x)| の周期は、y=sin(x) のx軸より上の部分だけが
繰り返し出てくることになるので、周期がπ、
というのも、大丈夫ですか？

すると、(sin(x))^2は、２乗して、曲線が多少尖った感じになりますが、
繰り返しパターンは、|sin(x)|と同じで、周期はπ、

(sin(x))^3は、やはり、曲線がさらに尖った感じになりますが、
sin(x)と正負のパターンは同じで、繰り返しパターンも同じ、
なので、周期は2π、ということに、

これを続けていけば、
nが偶数なら、(sin(x))^n の周期はπ、
nが奇数なら、(sin(x))^n の周期は2π、というのが解ります。

(sin(ax))^n は、(sin(x))^n を、y軸を中心に、
横に、ギュッと、1/aに押し縮めたようなようなグラフになるので、
nが偶数なら、(sin(ax))^n の周期はπ/a、
nが奇数なら、(sin(ax))^n の周期は2π/a、

cosの場合も、まったく同様です。

お礼

WiredLogicさん

　ご回答いただきありがとうございました。
　納得しました。

回答No.4

info22_

sin^4(ax)の基本周期（最小の周期）
　sin^2(ax)=(1-cos(2ax))/2
　sin^2(ax)の基本周期はcos(2ax)の基本周期Tになり　2aT=2πより　基本周期T=π/a
　sin^4(ax)=(1/4)(1-cos(2ax))^2=(1/4)-(1/2)cos(2ax)+(1/4)cos^2(2ax)
　なのでsin^4(ax)の基本周期はcos(2ax)の基本周期Tになり　2aT=2πより　T=π/a

cos^6(ax)の基本周期（最小の周期）
　cos^2(ax)=(1+cos(2ax))/2
　cos^2(ax)の基本周期は cos(2ax)の基本周期Tになり　2aT=2πより　基本周期T=π/a
　cos^6(ax)=(1/8)(1-cos(2ax))^3=(1/8)-(3/8)cos(2ax)+(3/8)cos^2(2ax)+(1/8)cos^3(2ax)
　cos^6(ax)の基本周期はcos(2ax)の基本周期Tになり　2aT=2πより　基本周期T=π/a

sin^n(ax)やcos^n(ax)の基本周期も同様に求めることができます。

（A）nが奇数の場合は　n-1=2m(偶数)なので
sin^n(ax)やcos^n(ax)の基本周期は
　sin^n(ax)=sin(ax)sin^(2m)(ax)=sin(ax)(1/2^m)(1-cos(2ax))^m
　　　　　 =(1/2^m)sin(ax){1-mcos(2ax)+...}
　cos^n(ax)=cos(ax)cos^(2m)(ax)=cos(ax)(1/2^m)(1+cos(2ax))^m
　　　　　 =(1/2^m)cos(ax){1+mcos(2ax)+...}
より,それぞれsin(ax),cos(ax)の基本周期Tになり　aT=2πより 基本周期T=2π/a
となります。

（B）nが偶数の場合は　n=2m(偶数)なので
sin^n(ax)やcos^n(ax)の基本周期は
　sin^n(ax)=sin^(2m)(ax)=(1/2^m)(1-cos(2ax))^m
　　　　　 =(1/2^m){1-mcos(2ax)+...}
　cos^n(ax)=cos^(2m)(ax)=(1/2^m)(1+cos(2ax))^m
　　　　　 =(1/2^m){1+mcos(2ax)+...}
より,共に cos(2ax)の基本周期Tになり　2aT=2πより 基本周期T=π/a
となります。

以上です。

お礼

info22さん

　ご回答いただきありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

nが偶数なら π/a, n が奇数なら 2π/a です。

sin(x)が周期的に変化することと、それと x^n の合成
関数がどのように変化するかを考えれば直ぐに解りますが、

２次元図を書いてくれるようなソフトを使うと
助けになると思います。

お礼

tknakamuriさん

　ご回答いただきありがとうございました。

回答No.2

alice_44

与えられた関数の基本周期を決定する問題は、
一般には難しく、いつでも使える解法は無いが、
質問の関数なら、比較的簡単に処理できる。

n が偶数の場合と奇数の場合に分けて、
それぞれの場合に関数のグラフの概形を描けば、
各 n に対する周期の予想が立てられるはず。

予想できたら、それを証明すればいい。
f(x+T)=f(x) を示せば、周期であることが言えるし、
基本周期であることは、グラフを援用して
それより小さい周期がないことを示せばよい。

お礼

alice_44さん

　ご回答いただきありがとうございました。