式の証明について

質問

添付画像のローレンツ普遍性の式が＝の前後とも同じであるという証明をしなくてはいけないのですがまったくわかりません。

わかる方いましたら解答していただけるとありがたいです。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

γ = 1/√( 1 - β^2 )
β = v/c
とおくと簡明になります。

x' = γ(x - βct)
ct' = γ(ct - βx)

x'^2 - (ct')^2
= γ^2{ (x - βct)^2 - (ct - βx)^2 }
= γ^2{ x^2 - 2βxct + β^2(ct)^2 - (ct)^2 + 2βxct - β^2x^2 }
= γ^2(1 - β^2) { x^2 - (ct)^2 }
= x^2 - (ct)^2

回答No.2

noname#175206

お書きのローレンツ不変は光速度cは、光速度不変の原理から、どの慣性系でも同じですから

　x^2 -ct^2 = x^2 - c^2t^2

ですね。

　これに、c＝1とする単位系で計算するのが簡単です。

x'^2 - t^2
= (x - vt)^2/(1 - v^2) - (t -vx)^2/(1 - v^2)
= ((x - vt)^2 - (t - vx)^2))/(1 - v^2)
= (x^2 -2vtx + v^2t^2 - t^2 + 2tvx - v^2x^2)/(1 - v^2)
= (x^2 + v^2t^2 - t^2 - v^2x^2)/(1 - v^2)
= ((x^2 - v^2x^2) -(t^2 - v^2t^2))/(1 - v^2)
= ((1 - v^2)x^2 - (1 - v^2)t^2)/(1 - v^2)
= x^2 - t^2

　cも含めての計算も、式の変形は同様で、これは質問者様にお任せします。

回答No.1

drmuraberg

左辺の式
x'^2 - c^2*t'^2
にローレンツ変換の式x'=とt'=の式を代入して簡単な代数計算をすると
右辺の式
x^2 - c^2*t^2
が出てきます。

図が見難いのですが、変換の前後で光速は変わりませんから、
左辺のc'に見えるのはcの間違いと思います。