零因子であるｎ次正方行列の行列構造

質問

AB=O　ならば、AやBは単体としてどのような構造の行列といえますか、AとB相互の関係についてはどのような構造があるといえますか。

またAB=BA＝O　ならば、AやBは単体としてどのような構造の行列といえますか、AとB相互の関係についてはどのような構造があるといえますか。

回答No.1

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AB=Oの時、AやB単体については「行列式が0」以外の特徴はありません。逆に行列式が0の行列は右零因子にも左零因子にもなります。

というのは、話を簡単にするためAB=Oの場合でBについて考えると、Bが正則なら明らかに零因子ではないので、Bが右零因子なら行列式が0というのはいいですが、逆に行列式が0の場合、BのJordan標準形を考える（これは考えているn次元数ベクトル空間の基底を取り替えることを意味します）と、BのJordan標準形の対角要素は、いくつかが0、いくつかが1となります。つまりこれはBを考えている数ベクトル空間の一次変換と見た場合、そのn個の基底の内、いくつかを0に葬り去るものと言えます。この時、Aは、その残った基底を全て0に葬り去るようなものであれば良いわけです。

逆にAB=OにおいてAの構造を考えるときも、Bは、Aが0に葬り去る基底以外のものを事前に葬り去ってくれるものであればよい、ということになります。

AB = BA = Oの時も同様に考えれば把握できると思います。