四面体の問題

質問

図のような四面体OABCがあり、3辺OA、OB、OCはともに長さが6で、互いに垂直である。
頂点Oから平面ABCへ下ろした垂線OHの長さを求めなさい。

どなたか解ける方がみえましたらご回答くださいm(_ _)m

回答No.4

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

No.2さんに同意します。
△ABCの面積の求め方ですが、このように計算してもいいです。

面積S=(1/2)AB・BCsin∠ABC=(1/2)×6√2×6√2×sin60°=18√3

距離の計算について、ご参考に別解を。

OA、OB、OCをx、y、z軸と考えて、△ABCを含む平面の式を求める。
法線ベクトル(1, 1, 1)なので、x+y+z-6=0となります。
点A、B、Cの座標を代入してみれば、正しい式だと分かりますね？

平面ax+by+cz+d=0と、点(x0, y0, z0)との距離は、|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)となるのでしたね？
今回、(x0, y0, z0)は原点Oです。
ですから距離は、

|-6|/√(1+1+1)=2√3

お礼

ベクトルを使った解法ありがとうございます。納得できました。この解法が数学的に美しいと思いましたのでベストアンサーにさせていただきます。

回答No.3

nananotanu

質問者様の補足で正解。

＃１様は、軽く作図すれば解りますが、考え方はあっているけど数値を勘違いされている？

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

補足

ありがとうございます。
1様の答えを計算すると4√3になるはずです。（１２／√３からケアレスミスされている？）
それでテキストの回答だと1様がやったような手順、途中の値も同じで4√3なのですが、私がやった結果が2様と同じの2√3だったのです。
私が図形を取り違えているのか、テキストの回答や1様が間違っているのか分からないのです＞＜

回答No.2

ferien

四面体OABCの体積は、3辺OA、OB、OCはともに長さが6で、互いに垂直だから、
６×６×（１／２）×６×（１／３）＝３６
正三角形ＡＢＣで、ＢＣの中点をＭとする。ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝６ルート２，
ＡＭは正三角形の高さだから　ＡＭ＝３ルート２×ルート３＝３ルート６
面積は、（１／２）×６ルート２×３ルート６＝１８ルート３
頂点Oから平面ABCへ下ろした垂線OHとすると、
四面体OABCの体積＝△ＡＢＣの面積×ＯＨ×（１／３）＝３６
１８ルート３×ＯＨ×（１／３）＝３６
よって、ＯＨ＝２ルート３

お礼

私の解法と同じです。ありがとうございます。

回答No.1

1s-53aiz

普通に考えて
体積＝ABCの面積×OH
を用いればいいんじゃないのかな？

錐体の体積の求め方に注意したいですね。
体積＝底面×高さ÷３より、
（６×６÷２）×６÷３＝１８×２＝３６
ABCの面積についてですが、これがちょっと悩むところかもしれません。
ポイントはABCの三角形の辺の長さがすべて等しいというところです。つまり正三角形ですね。
正三角形の底辺をちょうど二等分する点（この場合BCの真ん中M）からAに向かって線を引くと、
ちょうど同じ三角形が左右に２つできますね。
この直角三角形の比率はご存知のことと思いますが、底辺BM:斜辺AB：高さAM＝１：２：√３ですよね
すなわち面積は３×（３×√３）÷２なわけです。
これは片割れのみですから２倍してくださいね。

よって
３６＝３×（３×√３）×OH÷３
OH＝36÷（３×√３）＝１２／√３＝２√３／√３＝２

となるのでは？
ちょっと質問者様の知識がどれほどかわからないのですが、こんなものかと思います。
入力ミス等あったらすみません。

お礼

考えていただきありがとうございました。

補足

ちょっとわからない部分があったので質問させてください＞＜
3辺OA、OB、OCはともに長さが6で、互いに垂直ということは三角形ABCの一辺の長さは1:1:√2で6√2ということはないですか？その辺で頭がこんがらがってしまうんです；；