シャボン玉を半分に…

質問

電磁気の問題なのですが、電荷Qで帯電した半径Rのシャボン玉を半分に切断した時、シャボン玉の半分からもう片方へ与える反発力を求めよ。というものです。考え方としては無限に狭い隙間で分けたときに表面に働く力を積分することにより求めるのかな？と思い計算してみたのですがうまく出来ませんでした。ちなみに答えはF=Q^2/8R^2(cgs系)らしいのですが…
この問題は教科書の問題なので皆さんにお聞きするのは非常に心苦しいのですが、どうしても解けないのでよろしくお願いします。

回答No.2

LCR707 · ベストアンサー

∂F = ∂q E　が間違っていました。
　∂qは、球の外側と内側の電界が異なる不連続面上にあるので、上式は成り立たず、この場合は、
　∂F = (1/2)∂q E
になるようです。従って答えも1/2になり、
　Fz = Q^2 / 8R^2
になります。

　上記とは別に、エネルギーの変化から力を求める方法もあります。球面の電位は
　V = Q / R
なので、エネルギーは
　U = (1/2)QV = Q^2/(2R)
ですが、球の半径を ∂R だけ増したとき、エネルギーが ∂U 変化したとすれば、球の全表面に生じる力は
　F = -∂U/∂R = Q^2/(2R^2)
になるので、z軸と成す角θによる帯の面積を
　∂S = 2πR sinθ R ∂θ
とすれば、帯状の面積部分の力のz方向成分は
　∂Fz = F ∂S cosθ / (4πR^2)
　　　= (Q^2 / 4R^2) sinθ cosθ ∂θ
になります。これを上半分だけ積分すると
　Fz = (Q^2 / 4R^2) ∫[0～π/2](sin2θ / 2)dθ
　　 = (Q^2 / 4R^2) [-cos2θ / 4][0～π/2]
　 　= Q^2 / 8R^2
になります。

回答No.1

LCR707

一応解いてはみたのですが、答えが合いません。

　半径Rの位置における電界は、
　E = Q / R^2　　　(CGSesuの場合)
なので、球表面の微小な電荷∂q が半径方向に受ける力は
　∂F = ∂q E
になります。
　球がxy平面で切断されるとし、z軸と半径Rのなす角をθとすれば、θとθ+∂θの間の帯の面積は、
　∂S = 2πR sinθ R ∂θ
であり、球表面の電荷密度は
　σ = Q / (4πR^2)
なので、帯上の電荷∂q に働くz方向の力は
　∂Fz = ∂q E cosθ
　　　= σ∂S E cosθ
　　　= (Q^2 / 2R^2) sinθ cosθ ∂θ
になります。これを積分して
　Fz = (Q^2 / 2R^2) ∫[0～π/2](sin2θ / 2)dθ
　 = (Q^2 / 2R^2) [-cos2θ / 4][0～π/2]
　 = Q^2 / 4R^2

答えが２倍になってしまいました。どこを間違えたのでしょう？？？。