大学入試レベルの証明問題です。

質問

X^3+2X-1=0の実数解をαとするとき(１)～(３)を証明しなさい。
(１)αが唯一１つ存在
(２)αは無理数
(３)ｐα＾２＋ｑα＋ｒ=0をみたすｐ、ｑ、ｒは存在しない。

(４)1/αと1/(α＋１)をｐα＾２＋ｑα＋ｒの形であらわせ

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(１)は(与式)＝ｆ(Ｘ)のグラフより証明できました。
(２)は背理法でα＝n/m(n,mは２以上で互いに素)とおいてみましたが、
最終的に
(m-n)(m^2+mn+n^2)=2m^n
でいきずまりました。

(２)でどのような点に着目するべきだったか
と
(２)～(４)の解き方と答えを教えて下さいm(o_o)m

回答No.3

hrsmmhr · ベストアンサー

(3)p(α^3+2α-1)-α(pα^2+qα+r)=-pqα^2+(2p-r)α-p
-pqα^2+(2p-r)α-p+q(pα^2+qα+r)=(q^2+2p-r)α+(-p+qr)
pα^2+qα+rもα^3-2α+1も0なら、(q^2+2p-r)α+(-p+qr)も0
ならばα=(p-qr)/(q^2+2p-r)=0
p,q,rは有理数（？）だからαも有理数で矛盾
(4)1=2α+α^3=α(2+α^2),α^3+2α-1=(α+1)α^2-(α+1)α+3(α+1)-4=0

お礼

私にはない視点を沢山いただきました！
ありがとうございます(゜゜)

回答No.2

ferien

No.1です。以下のように訂正します。よろしくお願いします。

α＝n/m(n,mは２以上で互いに素な整数)とおく。
これは（１）の解であるから代入すると、
(n/m)^3＋２(n/m)－１＝０
ｎ^3＋２ｍ^2ｎ－ｍ^3＝０
ｍ^3＝ｎ（ｎ^2＋２ｍ^2）
ｍ＝ｎ（ｎ^2＋２ｍ^2）／ｍ^2
　＝ｎ｛（ｎ／ｍ）^2＋２｝　
右辺より、ｍが整数であることに矛盾する。
よって、αは、無理数である。

お礼

丁寧です。
ありがとうございます。

回答No.1

ferien

（２）だけです。

(２)は背理法でα＝n/m(n,mは２以上で互いに素)とおいてみましたが、
最終的に
(m-n)(m^2+mn+n^2)=2m^n
>でいきずまりました。
X^3+2X-1=0……（１）

α＝n/m(n,mは２以上で互いに素)とおく。
これは（１）の解であるから代入すると、
(n/m)^3＋２(n/m)－１＝０
ｎ^3＋２ｍ^2ｎ－ｍ^3＝０
ｍ^3＝ｎ（ｎ^2＋２ｍ^2）
ｍ＝ｎ｛（ｎ^2＋２ｍ^2）／ｍ^2｝
　＝ｎ｛（ｎ^2／ｍ^2）＋２｝　
ｍは、ｎを約数にもつことになり、互いに素であることに矛盾する。
よって、αは、無理数である。

でどうでしょうか？

お礼

ｍ＝ｎ｛（ｎ^2＋２ｍ^2）／ｍ^2｝
　＝ｎ｛（ｎ^2／ｍ^2）＋２｝　

でm^2を{}内に反映させるというのは
いい工夫だと思いました。

ありがとうございます(゜-゜)