大学入試の問題です。教えてください。

質問

大学入試の問題です。自分なりに考えたのですが、どうしても解法がみつからないので、教えてください。

【問題】
異なる３つの素数 p, q, r について、p^2＋q^2＋r^2 が素数ならば、p, q, r のうち１つは３でなければならないことを証明せよ。

どうかよろしくお願いします。

回答No.1

cubics · ベストアンサー

この問題は、逆に、p, q, r のうち１つも３でない場合には、素数にならないことを証明すればいいのですよ。おわかりですね。

つまり、
p=3a+1 または 3a+2
q=3b+1 または 3b+2
r=3c+1 または 3c+2
の場合を考えます。
実際に証明するのは、この組み合わせのうちの
４通りでいいです。
全部（+1）の場合、ひとつが（+2）の場合、
ひとつが（+1）の場合、全部（+2）の場合です。
あとは、p^2＋q^2＋r^2 を展開してみてください。
必ず、３の倍数になります。

ということは、p^2＋q^2＋r^2 が素数になるのは、
p, q, r のうち１つは３でなければありえません。

お礼

回答いただきありがとうございました。
３の倍数に着目して考えると簡単に解ける問題でしたね。

回答No.3

cubics

ああ、そうそう、背理法でしたね。＞BBblue さん

自分＞必ず、３の倍数になります。
つまり素数じゃありません。

p、q、r で 3a、3b、3c が「３」じゃなくて「３の倍数」の場合を排除してなくておかしいようにみえますが、
３の倍数だったら、p、q、r が素数じゃないからいいんです。
でもって、３、５、７の場合、８３になるから、ちゃんと素数になる例があって、めでたし、めでたし。
あとは、ちゃんとご自身でつじつまあわせて解答してちょうだい。

回答No.2

BBblue

方針だけ。背理法です。

p,q,r はすべて３でないと仮定すると
p,q,r はすべて３の倍数でないことがいえます（素数ですから）。
3m+1or3m+2と表せるのでp^2,q^2,r^2はすべて３で割って１余ることが示せます（3m+1,3m+2 の２乗を計算してください）。
すると p^2+q^2+r^2 は３で割り切れることになり、矛盾が生じます。

証明をきちんと書くと少し面倒かもしれませんね・・・頑張ってください。

お礼

回答いただきありがとうございました。
おかげさまで何とかなりました。