数学 場合の数・確立

質問

数学得意な方解答お願いします。過去問を解いており解答がありません。

赤玉１個、白玉２個から玉を１個取り出してもとにもどす。この試行を３回繰り返す。このとき赤玉の出る回数をＸとする。次の問いに答えよ。

（１）Ｘがとりうる値は全部で何通りあるか。

（２）Ｘ＝０となる確立を求めよ

（３）Ｘ＝１となる確立を求めよ

（４）Ｘの期待値を求めよ

基本の勉強はしましたが、できるだけ詳しく解答いただけると助かります。

回答No.1

noname#146456 · ベストアンサー

(1)X=0,1,2,3の4通りとなります。

(2)一回の試行で赤球が出る確率は1/3、白玉が出る確率は2/3
となります。

するとX=0となるので3回とも白玉が出る場合なのでその確率は
(2/3)^3=8/27
となります。

(3)X=1となるのは
赤-白-白
白-赤-白
白-白-赤
の3通りがあります。

するとそれぞれの確率はいずれも
(1/3)*(2/3)^2=4/27
なので求める確率は
3*(4/27)=4/9
となります。

(4)X=2となる確率は…でもいいのですがそれよりも
X=3のときの方が簡単なのでこれを求めます。

するとこれは3回ともすべて赤球を取り出す確率なので
(1/3)^3=1/27
となります。

よって
X=0となる確率は8/27
X=1となる確率は4/9
X=3となる確率は1/27
と分かりました。

すると残ったX=2となる確率ですがX=0,1,2,3のどれかが
必ず起こるのですべての確率の和は1になります。

よってX=2となる確率は逆に考えれば
1-8/27-4/9-1/27=(27-8-12-1)/27=2/9
と求めることができます。

このような考え方を「余事象の確率」と言います。

よって期待値は
（回数）×（確率）の和
となるので

0*(8/27)+1*(4/9)+2*(2/9)+3*(1/27)=4/9+4/9+1/9=1
となります。

お礼

早速、詳しいご解答いただきありがとうございました。
大変助かりました。