頭の体操問題

質問

次の問題をできるだけ簡単な解き方を教えてください

　Ａ君はある線路沿いの道を一定の速さで歩いています。この線路は上り、下りとも一定の間隔で列車が走っており、上りは７分ごとにＡ君を追い越し、下りは６分ごとにＡ君とすれ違ったそうです。この列車は何分間隔で走っているのでしょうか

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

列車の速度をＶ、Ａ君の速度をｖとします。
Ａ君と列車が向かい合って進むとき、両者の距離はＶ＋ｖの割合で縮まっていきます。両者が同じ方向に進むとき、両者の距離はＶ－ｖの割合で縮まっていきます。それぞれの場合の所要時間の比より
Ｖ＋ｖ：Ｖ－ｖ＝１／６：１／７＝７：６
７（Ｖ－ｖ）＝６（Ｖ＋ｖ）
Ｖ＝１３ｖ
これで、列車の速度はＡ君の１３倍であることが判ります。
ここで、列車の運転間隔をｔ（分）とすると、列車間の距離はＶｔです。この距離を両者が向かい合って進むとき、出会うまでの所要時間が６分ですから、上記より
Ｖｔ＝６（Ｖ＋ｖ）
よって
ｔ＝６＋６ｖ／Ｖ
上記よりｖ／Ｖ＝１／１３なので
ｔ＝６＋１／１３

お礼

早速のアンサーありがとうございます。比をつかうのですね。答がわかってすっきりしました。

回答No.5

WiredLogic

「頭の体操問題」と、誰かに出題されたのであれば、雰囲気的に、上り列車とＡ君が近づく速さと、下り列車とＡ君が近づく速さの平均＝列車の速さ、で、列車の距離間隔を移動する時間だから、それぞれでかかる時間・６分と７分の平均で、6.5分、と、答えるのを想定したヒッカケ、という狙いの問題のような気がします。

やはり「頭の体操的問題」によくある、同じ道を往復でそれぞれ違う一定の速さで移動したときの、かかる時間の平均は、足して２で割った、平均の速さで片道を移動した時間にはならない、という問題とこれは、本質的には同じ(同じ距離を違う速さで移動する平均時間を求めるという点で)問題です。こっちの例では、50kmの道を、行きは時速100km/時、帰りは時速0kmで移動したとき、平均の速さ時速50mで、片道50kmを移動するのにかかる時間は１時間、で、その倍・２時間で往復できるかというと、行きは確かに30分でたどり着けますが、帰りは一切動かないので、いつまでたってもたどりつけない、普通に、足して２で割った平均としては出せない、ということです。

正統派の解き方は、#1さん、#2さんが示しておられるような、一旦、文字は使うけど、そのままで方程式を解くのではなく、算数的に上手にいじって、答を出す、という方向になると思いますが、「できるだけ簡単な解き方」の「簡単な」が、説明が解りやすいという意味でなく、「手順が少ない」「算数的に、いきなり計算が始められる」という意味の場合を想定して、予備知識は必要ですが、いきなり答を出せる方法を示してみます。

こういう問題の場合、かかる時間の平均は、足して２で割る、普通の平均(数学用語では、「相加平均」と言います)では求められませんが、「逆数の(相加)平均を求めて、その逆数をとる」という「調和平均」というタイプの平均を使えば、求められることが解っています。(ここらへんの「平均」の使い分けは、それなりの数学の知識がないと、そう簡単ではないのですが、そこらへんは置いておいて…^^)

これを前提としてよければ(かなり、反則気味ですが^^)、
かかる時間が、６分と７分なので、逆数は、1/6と1/7、
足して２で割ると、(1/6 + 1/7)/2 = (13/42)/2 = 13/84、
この逆数をとると、84/13 = 6 + 6/13
、という具合に、すぐに答が出せちゃいます。

回答No.4

nag0720

＃２です。

問題をよくみたら、上りと下りは一定の間隔で走っていると書いてあるだけで、同じ速さとは書いていませんね。

例えば急勾配の坂の路線のように、上りと下りが違う速さの場合は答が違ってきますので。

回答No.3

gohtraw

＃１です。訂正。
答えは６＋６／１３ですね。

回答No.2

nag0720

Ａ君がある地点Ｐにいるときに、同時に上り下りの列車とすれ違ったとします。

そうすると、その６分後に下りの列車とすれ違い、さらに１分後に上りの列車が追い越すことになります。

そのときの下りの列車がＡ君とすれ違ってから地点Ｐを通過するまでの時間をs分、
上りの列車が地点Ｐを通過してからＡ君を追い越すまでの時間をt分とします。

上りと下りは同時に地点Ｐを通過しているので、
s+t=1
それぞれがその時間に走った距離はＡ君が歩いた距離と同じなので、
s：t＝6：7

これを解くと、
s=6/13

列車の間隔は、
(6+6/13)分＝(84/13)分≒6分27.6923秒

お礼

早速のアｓンサーありがとうございました。なかなか頭がかたくて・・・。すっきりしました。