速さの問題

質問

今夜も問題が解けず困っています。

問
路線と平行の道を時速18kmで走る自動車が、反対方向から来る時速72kmの電車と6分おきにすれ違う。電車は何分間隔で運転されているか。

解説
電車がt分間隔で運転されているとすると、一度すれ違ってから次にすれ違う電車は72×t/60（km）後方にいる。電車と自転車は6分後に出会うので、72×t/60=（72+18）×6/60。よって解答は7.5分。

*不明点
なぜ72×t/60で、次にすれ違う電車が求められるとわかるのですか？もしかしたら、(72-18)×t/60かもしれませんよね。また、最初に自力で挑戦した時、何をどうしたらいいか全くわからなかったのですが、どうやってこの式を使えばいい、と発想したらよいのですか？＆できるのですか？

もう勉強しても勉強しても、いざ新しい問題に挑戦するとやったこともない内容の問題ばかりで、いっこうに成果が出ず困っています。

回答No.10

c-beginer

No.5,No.7,No.9の者です。
書き方が悪くて、誤解を与えてしまったようですね。すいません。

>> (2)(b)A君が1周した時、B君は何ｍ先にいますか？
> 4分×(10/60)＝2/3km　これはわかります。しかし、２/３をこの後どうしたらよいのかわからないのです。
2/3kmが答えです。
それ以降は、別解で時間に注目しても、距離に注目しても、速さに注目しても答えが出せますよ。っと伝えたかっただけです。
表現方法が下手ですいません。。

> なんで2/3が一気に4kmになるのですか？？
以下の記述からこのような疑問がわいてきたんですかね？？
>> 理想はの回答は、1時間で4km差が開く。
これは、速さに注目した際の解答方法です。
(1)A君は時速6km/h ＝ 1時間で6km走れる
(2)B君は時速10km/h ＝ 1時間で10km走れる
(1)、(2)より1時間で4kmの差が開く。
このことより、A君が1周するのにかかる10分間でどれくらい差が開くのかを導き出せます（下の式より）。
{(10-6)/60}×10＝2/3km

>> (3)(c)A君がB君に周回遅れで抜かれるのは、何周目？

> 「3/2周の時B君はA君に追いつくので、2周目が答え」とありますが、3/2周走ったとき、同時にＡ君もその間走っているので、追いつくということにはならないと思いました。
> これは、Ａ君が立ち止まっている時にのみ通用する式ではないのですか？
A君も走っている時に通用する式なんですよ。
では、
(1)A君は時速6km/h ＝ 1時間で6km走れる ＝ 1分間で100m走れる
(2)B君は時速10km/h ＝ 1時間で10km走れる ＝ 1分間で1/6km走れる ＝ 1分間で167m走れる
このことより
時間（分）｜A君の走った距離｜B君の走った距離｜二人の差｜
1分後 ｜ 100m ｜ 167m ｜ 67m ｜
2分後 ｜ 200m ｜ 334m ｜ 134m ｜
3分後 ｜ 300m ｜ 501m ｜ 201m ｜
4分後 ｜ 400m ｜ 668m ｜ 268m ｜
・
・
10分後 ｜ 1000m ｜ 1670m ｜ 670m ｜
・
・
15分後 ｜ 1500m ｜ 2505m ｜ 1005m ｜

と、A君が3/2周した所でB君との差が1周（1km)を超えてしまいます。
書かれている”Ａ君が立ち止まっている時のみ”の映像をイメージてみて下さい。自分が何を勘違いしているか分かるんじゃないでしょうか

では、がんばってね。

お礼

＞2/3kmが答えです
がっちょーん!!

＞A君が3/2周した所でB君との差が1周（1km)を超えてしまいます
おぉ!!（゜◇゜;）

ありがとうございました。

回答No.9

c-beginer

No.5,No.7の者です。
前回、正解はあえて載せませんでした。
すぐ答えを見て、分かったつもりになってほしくなかったからです。
悩んだり、不安だったりでもいいので、自分なりの答えを出すことが
数学を勉強する上では大事だと、私は思ってます。

> ちょっとでも内容が変わると解けなくなりますよね。
> 習っていないパターンに関しては、解き方を知らないので…
ちょっと間違ってますね。例えば、あなたが新しい携帯を買った時に
説明書を1ページ目から読みますか？
今までのとちょっと変わっただけだろうと、いろいろいじくりまわして
新しい機能だとか使い方を覚えますよね（きっと）。
数学も同じで、似たようなパターンはやったことあるからやってみよう
といじくりまわしてほしいです。きっと力になりますよ。

そんなんを繰り返してたら、次第に自分の答えに自信が沸いてきますよ。

----------（No.8さんへのお礼文）-----------------------
> ここの時間はあくまでただの時間であって、何分間隔か、を求める式> としては使えないと思ったからです。
僕の予想では、互いに二つのもの（車と電車）が動いているから
理解できていないのかなぁと思ってたので、No.7のような問題を作っちゃいました。すいません。

では、駅のホームで仁王立ちしていました。すると電車と6分おきにすれ違うことに気づきました。電車は何分間隔で運転されているか？
→Ans. 6分
こんな風に、分からなかったらいったん落ち着いて問題を単純にしてみる手もありますよ。

<<No.7の回答>>
◎正解！（１）１ｋｍ　ですか？ ←自信もって♪
　　　　（２）
◎正解！　（ａ）４分　かもしれない、と思っています。←自信もって♪
×不正解　（ｂ）４０ｍ　とかですか？？
A君がゴールするまでの4分間、B君は走っているので
4分×(10/60)＝2/3km
または、A君が1周10分は分かっているので、
互いの10分間で走れる距離を引いて
10分×(10/60)km/h－6分×(10/60)km/h＝2/3km
理想はの回答は、1時間で4km差が開く。
じゃあ10分間では・・・としてほしかったです。
{(10-6)/60}×10＝2/3km
×不正解　（ｃ）？？？
(b)で1周で2/3km差が開きますので、差が1周分(1km)になるのは
2/3×？周＝1km
∴3/2周の時B君はA君に追いつくので、2周目が答え
　　　　（３）
◎正解！　（ａ）ひょっとしたら、５分かなー、と思いました。
理想の回答は、1時間で(6+10)kmで近づいて行く。
じゃあ二人の合計した距離が1周分(1km)は・・・としてほしいです。
×不正解　（ｂ）最初のすれ違いの１回だけと思いました
ぎり2回でした。残念。同じ速さで二人が反対方向に走っている風景をイメージしてみて下さい。半分走った地点で1回目すれ違い、ちょうどゴール地点で2回目すれ違います。

以上、大学生による通信教育でした。長々とすいません。
数学は、知っている知らないではなく、知ってる材料を元に
思いつく学問です。
では頑張って♪

お礼

またの書き込み、ありがとうございます。

＞僕の予想では、互いに二つのもの（車と電車）が動いているから
理解できていないのかなぁ

記事８のコメント欄の手順を使って解いた場合、あのような疑問点が沸いてきました。

テキストで、「次にすれ違う電車は72×t/60（km）後方にいる」という解説をいきなり読んだときは、車と電車が動いているから、(72-18)×t/60かもしれない、と考えました。そう、車と電車が両方とも動いているからこんがらがってしまったのです。距離＝速さ×時間の知識だけでは、解消されません。

(b)(2)A君が1周した時、B君は何ｍ先にいますか？

4分×(10/60)＝2/3km　これはわかります。しかし、２/３をこの後どうしたらよいのかわからないのです。なんで2/3が一気に4kmになるのですか？？

(c)(3)A君がB君に周回遅れで抜かれるのは、何周目？

「3/2周の時B君はA君に追いつくので、2周目が答え」とありますが、3/2周走ったとき、同時にＡ君もその間走っているので、追いつくということにはならないと思いました。これは、Ａ君が立ち止まっている時にのみ通用する式ではないのですか？

(b)そのまま逆走し続けたままとしたら、A君が1周するまでに何回すれ違いますか？

何分後にすれ違うか、がわかったので頭の中でイメージはしやすかったです。ゴール地点でちょうど２回目にすれ違いということは、同時に２週目に入っているということであり、１週目のときは一回しかすれ違わない、という風に考え、「最初のすれ違いの１回だけ」と解答しました。

回答No.8

noname#66332

以前にも質問者様の距離と速さと時間に関する質問に回答させていただいたことがありますが、

これこれの速度（km/h）で　×　どのくらいの時間(h)走れば
　　＝　これだけの距離(km)を走れる

ここが感覚として理解できていないのではないかと思います。
#4さんも言っていますが、公式としてはこれ以外に（加速がどうのと言い出さない限りは）一切使いません。
そしてこの類の問題の解き方は、自分を含めて他の皆さんもおっしゃっている通り
「問題文から頭の中で絵を描いてみて、この公式を当てはめられる場所を探す作業」
になるのですが、この公式の理解があやふやなので、
「こう当てはめてみたけどこれでいいのだろうか？」
「習っていないパターンだから分からない」
と不安になってしまうわけです。

この理解がしっかりしていれば
「ここは間違いなく当てはめられる」
「ここは速度・時間・距離のうち２つ分からないからダメ」
「全然入れられないから、これは絵の描き方がマズい」
と、出来る・出来ないの区別がしっかりできるようになります。

で、練習方法ですが‥‥

例えばバスに乗っていても
「家から学校まで7kmの道のりを40分かかるから、
　○ × 40/60 ＝ 7
　で、平均スピードの○は10.5kmか」
「時速50kmでノンストップで走れば
　50 × ○ ＝ 7
　で、○ ＝ 7/50時間 ＝ 8.4分で着けるはずなのにロスが多いなあ」

空を飛ぶ飛行機を見ても
「目測5kmぐらいの距離を30秒で飛んでいるから、
　○ × 30/3600 ＝ 5
　で、○ ＝ 時速600kmぐらいで飛んでるな」

車に乗っていても
「メーター読み100km/h で走って、40km先の目的地に着くには
　100 × ○ ＝ 40
　で、○ ＝ 0.4時間 ＝ 24分ぐらいあれば着くな」
「ちなみに120km/h で走ったら？
　120 × ○ ＝ 40
　だから、○ ＝ 1/3時間 ＝ 20分か。対して縮まらないから安全運転しよう」

などなど、常に頭の中で考えてみる練習をして下さい。
ここがしっかり身に付けば、「習っていないから」出来ない　のではなく「頭の中でしっかり絵が描けていない」のだ　ということが、恐らく実感として理解して頂けると思います。

※ ちなみにこの公式を習いたての小学生（６年？ ５年？）の男子は、たいてい人に言われなくとも喜んでこれをやっています。
数字としてしか理解していなかったスーパーカーや新幹線やチーターやハヤブサのスピードと、形としてしか理解していなかった日本地図や地球儀が、自分の頭の中に「具体的な広がり」を持って表れる感動はちょっと言い表せないですからね。

お礼

ありがとうございます。改めてこの問題に自力で挑戦し、何が壁になっているのかを考えてみました。

段階１
自動車と電車との距離は９ｋｍと計算した。
同時に、はじめの電車の距離と次にすれ違う電車の距離は９ｋｍと考えた。（これはあってますよね？）

段階２
そこまで計算したあと、現在わかっている数字をもとに、次に何をしたらいいかがわからなかった。

なぜわからなかったというと、例え距離＝速さ×時間という公式を知っていたとしても、ここの時間はあくまでただの時間であって、何分間隔か、を求める式としては使えないと思ったからです。何分間隔か、を求める問題を経験したことがないので、どう応用したらいいか知らない＆わからなかったからです。

rakutarou-様の２番の書き込みを改めて見直すと、9/72 ＝1/8時間 ＝7.5分、という式がたてられていました。（行き詰まった時にこの式を見たら、「そう言われてみると確かにこれで解ける気がする」と感じました）。

「ここが感覚として理解できていないのではないかと思います」という発言は、このあたりのことを指しているということでしょうか。

回答No.7

c-beginer

No.5の者です。No.6さんの言われている通りの気が私もしました。
でも、頑張ってほしいので１つレベルを下げた問題です。
(2)(b)までは、頑張って解いてほしいです。
(3)(a)はあなたが質問している内容と同じですよ。
さぁ、がんばって！！

(1)A君は運動場を走ってます。時速6km/hで走ってます。運動場1周するのに10分かかりました。では、運動場１周は何kmでしょう？

(2)B君と競争することになりました。B君は足が速いので時速10kmで走れます。A君が時速6km/hのままだとしたら
(a)A君とB君の1周のタイムの差は何分？
(b)(2)A君が1周した時、B君は何ｍ先にいますか？
(c)(3)A君がB君に周回遅れで抜かれるのは、何周目？

(3)次は頭の悪いC君と競争することになりました。
C君はA君と同じ時速6km/hで走るので、いい勝負かなと思ってA君は
ウキウキしていましたが、よーいドン！と共にC君は逆走し始めました。その時
(a)A君は何分後に逆走してくるB君にすれ違い、ツッコミができますか？
(b)そのまま逆走し続けたままとしたら、A君が1周するまでに何回すれ違いますか？

お礼

ありがとうございます。早速解いてみましたが、正解が正解であるという証拠がなく、とても悩みました。

（１）１ｋｍ　ですか？

（２）
（ａ）４分　かもしれない、と思っています。
（ｂ）４０ｍ　とかですか？？
（ｃ）？？？

（３）
（ａ）ひょっとしたら、５分かなー、と思いました。
（ｂ）最初のすれ違いの１回だけと思いました。

一度勉強した問題は、答えも解き方もわかっているので、全く同じ問題がでれば解けるようになるかもしれませんが、ちょっとでも内容が変わると解けなくなりますよね。なぜなら、習ったパターンに関しては解き方を知っていますが、習っていないパターンに関しては、解き方を知らないので、例えあれこれ考えて答えがでても、その式の立て方や答えが正解である、という証拠もなく、確信が持てません。（もしかしたら、違うかもしれないのです）

回答No.6

hiro1122

お礼のコメントを見た感想ですが、質問者様の現在の実力よりもランクが一つか二つ上の問題をされているという感じがしました。
問題のランクを下げて基礎をしっかりとさせてから現在の問題に取り組むと良いでしょう。

お礼

そーなんです!!勉強しても勉強しても、難しい問題ばっかで解けるようにならないんです（T_T）。一応、基礎を教えてくれるテキストは何度も読み返ししているようにしています。しかし、いくらその復習をしても、その場合に限って学んだだけで、少しでも問題が変わると、どうしたらいいかわからなくなってしまうんです。←なぜなら、習ったことがないからです。

回答No.5

c-beginer

頑張っていますね。
解説が親切でない問題だと率直に感じました。

>何をどうしたらいいか全くわからなかったのですが
>どうやってこの式を使えばいい、と発想したらよいのですか？
絵を描いたりして、イメージしてみて下さい。
数学は絵や図を描いてみたら意外と解けるものです。

＿車→＿＿＿＿＿＿←電車1＿＿＿＿＿＿←電車2＿＿＿＿＿＿←電車3

上みたいな絵を書いたら、すれ違う時間も一定だけど
電車と電車の距離も一定だなぁって気づけます。
そしたら以下のような式が立てられますよね。
車の移動距離＋電車の移動距離＝18km/h×6分＋72km/h×6分
　　　　　　　　　　　　　　＝電車1と電車2の間隔
　　　　　　　　　　　　　　＝72km/h×ｔ分
∴18×(6/60)+72×(6/60)＝72×(t/60)
t=30/4=7.5

どうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

車の移動距離＋電車の移動距離＝18km/h×6分＋72km/h×6分
　　　　　　　　　　　　　　＝電車1と電車2の間隔

ここの公式を理解する＆自力で気付くのは、とても難しいことだと感じました。なぜなら、この場合はこれがイコール関係だと教えてくれているので、「あー、そうなんだぁ」となりますが、自力であーかなこーかなと考えている場合であったら、「もしかしたら違うかもしれない」と考えてしまうと思うからです（実を言うと、今もいまいちピピーンときません。なんとかわかるような気はするのですが…）。

回答No.4

hiro1122

こういう文章題を解くコツは　何に注目するかをきちんと決めることです。
この解答では、次にすれ違う電車に注目したわけです。
そして６分間で２台の電車の距離が０に縮まるのを
距離＝速さ×時間
で表しています。

速さの問題ではこの等式しか使いません。基準の取り方はいろいろあるので、解法は何種類も存在することになります。
絵を描いて考えるといいと思いますよ。＾＾

お礼

ありがとうございます。

どの問題も、自力で挑戦するとたいていは、あーかもしれない・こーかもしれないと、こんがらがってしまいます。正しい解き方をスッキリと導き出すことができず、困っています。

回答No.3

0125mica

問題を正しく図で示すことができれば、理解できていることになります。
＜電車がt分間隔で運転されているとすると、一度すれ違ってから次にすれ違う電車は72×t/60（km）後方にいる。＞
　2つの電車の間隔ですよね
　1つ目の列車と今すれ違った。このとき後ろの電車は(72/60)×ｔ(km)後方にいる。
　この瞬間から6分後に後続列車とすれ違う
　　1　6分間で自動車は（18/60）×6(km)走る、
　　2　列車は(72/60)×6(km)走る
　　　　　　この和が(72/60)×ｔ(km)ですよね

お礼

ありがとうございます。

そのことに気付くことが難しい、と悩んでいます。

回答No.2

noname#66332

別解で恐縮ですが‥‥

最初の電車とすれ違った瞬間から、
用意ドンでこちら自転車、向こう電車がスタートしたと思って下さい。
6分ですれ違う訳ですから、

自転車で6分走った距離
→→→
　＋
電車で6分走った距離
　　　　←←←←←←←←←

が、最初の電車と次の電車の距離になります。
6分＝1/10時間ですから、上の合計は1.8＋7.2＝9km。

前の電車が9km走ったら次の電車がスタートするわけですから、
それに要する時間は9/72 ＝1/8時間 ＝7.5分。

とにかく、まずは文章を自分の頭の中で図にしてみる事です。

お礼

ありがとうございます。

自転車で6分走った距離＋電車で6分走った距離＝次の電車の距離

この公式は、「こうだよ」というご説明があったらから、なんとかわかったと思います。しかし、いざ実際に、これを自力で考え、＝次の電車の距離と気付くのは、たいへん難しいことのように感じました。なぜなら、もしかしたら違うかもしれない、この公式では解けないかもしれない、と色々と考えてしまいそうだからです。

回答No.1

kotenuki

答えがわかっているので、逆に考えてみたらいかがですか？

すれ違った瞬間、次の列車は
７２×（７．５分／60分）＝９ｋｍ先にいます。
自転車は時速１８ｋｍで進みます。
次の列車は時速７２ｋｍで近づいてきます。
つまり自転車と列車は時速（７２＋１８）ｋｍで近づきます。
ということから９ｋｍ÷時速９０ｋｍ＝０．１時間＝６分

となります。

とりあえず、分単位・メートル単位にしたほうがいいかもしれませんね。

お礼

ありがとうございます。

答えをあてはめてやってみたところ、確かにつじつまはあいました。しかし、それはこの場合に限ってできたというだけで、いざ別の似たような問題・数字だけ変えて全く同じ問題がでた場合に、解けるようになったということとは違う気がします（T_T）。