三角関数の合成が考えられた背景はなんですか？

質問

三角関数の合成は重要だと高校の授業で習いましたが、具体的にどんなところが重要なのですか？
別になくても平気っちゃ平気ですよね？
sinとcosが式に両方入っていると扱いにくいからとかでしょうか？
一つにまとめると何かが楽だからですか？

回答No.4

WiredLogic · ベストアンサー

いくつかポイントがあって、

#1さんのおっしゃっていることは、「三角関数の合成が考えられた背景」のひとつとして、その通りではあるのでしょうが、一般論すぎて、質問者さんの「具体的にどんなところが重要なのですか？」の答にはならなさそうですね。

「背景」としては、#3さんのおっしゃる「三角関数を重ねると三角関数になるのは明らかなんです」が、もっとも重要かと思います。

ただし、そのままでは、ちょいと嘘っぽいかも。「『同じ周期の』sin,cosをいくつ重ねても、振幅(y=a*sinθのa)や位相(始まりの位置・y=a*sin(θ+α)のα)がどうなっていても、『同じ周期の』sinかcos１つにまとめられる」とやれば、もっと、真相に近くなりますが、これが「合成」の正体です。

周期が違う奴を重ねる、例えば、sinx+sin(2x)のような場合だと、１周期(2π)の間に、x軸の上側で山が２つ、下側に山が１つ、のような、周期関数にはなりますが、さすがに、１つの三角関数では表せません。ついでにいうと、普通の楽器の音が、波形がほとんど単振動の音叉などに比べると、複雑なのは、波形が、こういう、周波数が整数倍(周期が整数分の１)の単振動をいくつも重ねたものになっているからです。

数学の先生が、重要というのには、教科としての数学や、入試数学のことも念頭にあるんじゃないかと思いますが、その面では…

１つのsin,cosにまとめてしまわないと、最大・最小なんかが、一目で解らない、
例えば、頻出問題に、a*(cosx)^2 + b*(sinx)(cosx) + c*(sinx)^2 の最大・最小を求めよ、って問題がありますが、解く手順は、

(1) (cosx)^2, (sinx)(cosx), (sinx)^2 を、半角公式を使って、cos(2x),sin(2x) を使う形に直す。
(2) すると、A*cos(2x) + B*sin(2x) + C みたいな形になるので、
(3) 合成して、√(A^2+B^2)*sin(2x + α) + C とすれば、
(4) 最大・最小は、C±√(A^2+B^2)

ということで、合成公式知らないと、(2)の後が、ちょっと、手に負えません。
(数IIIの三角関数の微分でもできますが、面倒くさ過ぎ^^)

仮に覚えていなくても、加法定理さえちゃんとしていれば、倍角公式・半角公式なら、
その場で、思いつけるかもしれませんが、さすがに、合成公式になるとは、
少なくとも、あ～、こんな形の公式があったよなぁ、くらいの記憶はないと、
その場で作るのは、難しそう、ということで、重要と言っておかないと、
その程度の記憶にも入れてもらえない。
(加法定理が重要なのは、一々言わなくても当然、倍角公式なんかも、同様で、
必要なら、簡単に出せるし、練習問題で出てくる率も高いから、
そこまで強調しなくても、大丈夫、なのに比べると…^^)

以下、余談気味ですが…

自分だけで思いつくのは至難の業っぽい合成公式ですが、
大まかな記憶さえあれば、再現法は、難しくはなく、
sin(x+α) = (sinx)(cosα) + (cosx)(sinα)、
これと、a*sinx + b*cosx が同じになるなら、a=cosα,b=sinαでいいのですが、
a^2+b^2 = 1 でない場合は、そういう訳にはいかない、けれど、
{a/√(a^2+b^2)}sinx + {b/√(a^2+b^2)}cosx ならば、
{a/√(a^2+b^2)}^2 + {b/√(a^2+b^2)}^2 = 1 だから、
a/√(a^2+b^2) = cosα, b/√(a^2+b^2) = sinα として、問題なくなる、
なので、{a/√(a^2+b^2)}sinx + {b/√(a^2+b^2)}cosx = sin(x+α)、
で、両辺に、√(a^2+b^2)をかけると、合成公式、という具合です。

実は、上の教科書パターンだけでなく、cos(x-β)の加法定理から、
a*sinx + b*cosx = {√(a^2+b^2)}cos(x-β)
ただし、sinβ = a/√(a^2+b^2), cosβ = b/√(a^2+b^2)
という合成公式もあり、ものによっては、こっちを使うと、楽になることも、
ゆとりがあったら、同じ要領で、証明・確認して、使えるようにしておくと、便利です。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.5

hugen

sin(A+60')=sinA*1/2+cosA*√3/2
2sin(A+60')=sinA*1+cosA*√3　　逆に書くと
1sinA+√3cosA=2sin(A+60')
(x+1)^2=x^2+2x+1 ,逆に書くと
x^2+2x+1＝(x+1)^2

原点からθの向きに、a
更に、左90度の向きに、b　　動いた点を(x,y) とすると
(x,y)=(cosθ,sinθ)×a+(-sinθ,cosθ)×b
一方、x=√(a^2+b^2)cos(θ+α) , y=√(a^2+b^2)sin(θ+α)

お礼

回答ありがとうございました

回答No.3

kabaokaba

ちなみに私も
「落体の運動」でなんで三角関数の合成なのか分かりません

さて・・・三角関数の合成ですが
これは波の重ねあわせです．
実経験的には
三角関数を重ねると三角関数になるのは明らかなんです．

お風呂にはいったときに
波紋（波）が起こるけど
浴槽で跳ね返ってきたの波紋と重なっても
やっぱり波紋（波）ですよね．

まだありますよ．音．
音は波だけど，音が重なっても音でしょう？
波と呼ばれるものはすべからくそうです．

これらの数学的な表現が三角関数の合成です．

物理を離れても
sin(x)+cos(x)と書くよりも
2^{1/2}sin(x+π/4)
と書くほうが見やすいことあるわけで
sin(x)+cos(x)の近似を考えるよりも
2^{1/2}sin(x+π/4)の近似を考えるほうが
はるかに簡単です．

お礼

回答ありがとうございました

回答No.2

noname#157574

落体の運動かな。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

私が非才であるがゆえに意味が分かりません。
どういう意味ですか？教えていただきたいです。

回答No.1

halcyon626

数学では、ゴチャゴチャとした式を展開するよりも、
簡素かつ簡潔な方が良いとされるからです。
事実、数学の論文なんかでは、メモのような走り書きの寄せ書きの集大成は好まれず、スッキリした方が良しとされます。
そういう意味では、数学を簡素かつ簡潔にするのは芸術とする学者も少なくありません。

例えば、数学の数列において、
・１，４，９，１６，２５，３６、・・・とあった時、真っ先に考えることは何ですか？
１番目の数字は１の２乗、２番目の数字は２の２乗、・・・、ｎ番目の数字はｎの２乗。
と言った風に、法則や何かのルールを見出してしまいませんか？
人の頭は、ただ並べられた数字の羅列においても、このように法則性を見出そうとしてしまう傾向があります。
故に、ダラダラと長ったらしい数式を書くよりも、より短くまとめてしまった方が好まれるのです。

逆に、このような数列の場合、どのような法則があるでしょう？
・１，３，５，７、１０、１３、・・・・
まず始めに、奇数の羅列を考えますね。しかし１０がある・・・・
とすると、２ずつ増えていく・・・としても、途中から３増えてる。群数列？？
爆問学問で心理学者が人間の心理をこれで説いてましたが、答えは右にいくほどに数字が大きくなる。とのことです。
そんな簡単なことですが、それだけで納得いきませんよね？
故に、人は何かしらの括りや枠組みに当てはめようと、本能的に考えてしまうのです。

そういう意味合いから、無秩序に並んだ数式も、読みやすく並べたり(ｘの式を降べきの順で並べる)、公式があるならそれを代用しようとするのです。
結果、それが好ましい答えとなります。

参考までに、

お礼

回答ありがとうございました。