三角関数 合成公式

質問

三角関数の合成公式についてですが、
昔から、ずっと下記のやり方で合成を行ってきました。
a・sinθ+ b・cosθ
=k(a/k・sinθ+b/k・cosθ)

cosα=a/k、sinα=b/kとおくと
k(cosαsinθ+sinαcosθ)
=k(sin(θ+α))
sinβ=a/k、cosβ=b/kとおくと
k(sinβsinθ+cosβcosθ)
=k(cos(θ-β))

しかし、このやり方を掲載している参考書、教科書を見たことがありません。
このやり方は何か間違っているのでしょうか?

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

角度の和と差の公式の単純な応用だと思います。
交流理論で位相差を計算するときとかでよく使うし、
珍しくもないというのが私の感想ですね。

回答No.4

178-tall

>このやり方は何か間違っているのでしょうか?

c = b - ia = k*e^(iφ) とすれば、
　a*sinθ+ b*cosθ = Re{c*e^(iθ)} = k*cos(θ+φ)
というハナシの結末なのでしょうから、「間違っている」とはいいきれませんね。

回答No.3

spring135

間違いです。

cosα=a/k、sinα=b/k

となるｋの存在ををあらかじめ証明しておく必要があります。

-1≦cosα≦1、

-1≦sinα≦1

sin^2α+cos^2α=1

を満たす量としてｋが存在することを導入時に証明しておく必要があります。

質問者のやり方はこの点が決定的に間違っています。

結果として同じことになっても途中で怪しげなものが混入していてはだめです。

たとえば

a=1,b=1のとき

k=0.1を排除しておく必要があります。

（正確にはｋ＝√2以外を排除）

その点が触れられないまま話が進んでいるので以下の議論はすべて数学的に無効です。

補足

例えば、「cosα=a/k、sinα=b/kとなるｋが存在するならば」
と仮定した場合はどうでしょうか。

実際的にはそのように使っているはずですので…

その場合は、別の意味で美しい公式とは言えないと思いますが、
まさにNo.2の方の仰る意味で、aとbを座標にひもづけるのが、天下り的で美しくないと考えているもので。

…しかし実際問題、sinα、cosβが成立するのか不明で、α、βの具体的な値がわからない場合(むしろその場合の方が多い)は、この解法は無力です。
(例えば、手元の問題集などには、2sinθ-cosθを合成せよ、という問題が有り、解答として√5(sin+α)、ただし、αはsinα=-1/√5、cosα=2/√5を満たすようなα、と書かれています。実用途としては、ここから三角関数対応表を検索して値を探しだすのでしょうが、これ自体が問題として不備がある気がします)

回答No.2

alice_44

どこも間違っていないし、教科書等のやり方とほぼ同じ。
違いは、教科書では k の値を先に k = √(a^2+b^2) と
求めてしまうが、貴方の手順では、(恐らく)後から
α, β の存在条件として (a/k)^2+(b/k)^2 = 1 が登場
するのだろう…ということだけ。
k の値の由来が天下り的では嫌だ…という人にとっては、
美しい手順なのだと思う。
教科書流の方は、記述が簡単に済むので、複雑な問題の
一部として、拘らずにサッサと処理したい時に向く。

回答No.1

naniwacchi

通常は、k＝ √(a^2+ b^2)となっていますね。
そうしておけば、確実に -1＜ a/k＜ 1かつ -1＜ b/k＜ 1が言えるからです。