三角関数の問題で、、、

質問

三角関数で、

ｔａｎθ＝２のとき

（１／１＋sinθ）＋　（cosθ／１－ｓｉｎθ）

の値を求めよ。

で、ｃｏｓに直すのかなあ　とは思いますが、
答えがでません。。。

途中式がどうなるのか、教えて頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

（１／(１＋sinθ)）＋　（cosθ／(１－ｓｉｎθ)）
＝{(1-sinθ)/(1-(sinθ)^2)} + {cosθ(1+sinθ)/(1-(sinθ)^2)}
＝{(1-sinθ)/((cosθ)^2)} + {cosθ(1+sinθ)/((cosθ)^2)}
＝{(1-sinθ)+cosθ(1+sinθ)}/((cosθ)^2)
＝(1-sinθ+cosθ+sinθcosθ){1+(tanθ)^2}

ここでｔａｎθ＝2より
{1+(tanθ)^2}=5
sinθ＝±2/√5,cosθ=±1/√5(復号同順)
なので

与式＝{1-(±2/√5)±(1/√5) +2/5}*5
＝5±(1-2)√5+2
＝7±(-√5)
(答) 7±√5

(注)
θ=tan^-1(2)+2nπのとき　7-√5
θ=tan^-1(2)+（2n+1)πのとき　7+√5
(n=任意の整数)

お礼

丁寧な解説ありがとうございます！

回答No.5

mister_moonlight

＞他にも、三角関数で変形する事も可能だが

Ｐ＝１／(1＋sinθ）＋（cosθ)／(1－sinθ)＝通分して＝(2cos＾2θ-cosθ＋1)/(cosθ)＾2　‥‥(1)
条件から、sinθ＝2cosθ　だから2乗すると、1-cos＾2θ＝4cos＾2θ　→　cosθ＝±1/√5　‥‥(2)
5cos＾2θ＝1を(1)に代入すると、Ｐ＝(2cos＾2θ-cosθ＋5cos＾2θ)/(cosθ)＾2＝7-1/cosθ　‥‥(3)
(3)に(2)を代入するだけ。

お礼

ありがとうございます！

意外と簡単だったっことが判明しましたｗ

回答No.3

tomokoich

1/(1+sinθ)+cosθ/(1-sinθ)
={(1-sinθ)+cosθ(1+sinθ)}/{(1+sinθ)(1+sinθ)}
=(1-sinθ+cosθ+cosθsinθ)/(1-sin^2θ)
=(1-sinθ+cosθ+cosθsinθ)/cos^2θ

tanθ=2よりsinθ=2cosθなので
=(1-2cosθ＋cosθ+2cos^2θ)/cos^2θ
=(1-cosθ+2cos^2θ)/cos^2θ
=(1/cos^2θ)-(1/cosθ)+2
=1+tan^2θ-√(1+tan^2θ)+2
=1+2^2-√(1+2^2)+2
=7-√5

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

まず、tanθの値から、cosθが求まりますよね。
さらに、cosθが求まれば、sinθも求まります。

あとは、cosθとsinθの値につく符号の組合せに注意しながら
計算してみてください。

お礼

ありがとうございました。
なんとか、テストもクリアできました。

回答No.1

mister_moonlight

ｔａｎθ＝2 から　sinθ＝2cosθ　だから　sin＾2θ＋cos＾2θ＝1　より、sinθ　と　cosθ　の値は直ぐ求められる。但し、2通りある。
それを求める式に代入する。

他にも、三角関数で変形する事も可能だが、それが一番簡単。
考えるところなんか、何もない。手を動かすだけ。

お礼

ですね.
よく考えてみたら、それほど難しくありませんでした。
ありがとうございます。