五次方程式の計算問題

質問

次の五次方程式を解け。

30000x^5-1601620x^4+34070206x^3-361134200x^2+1908102200x-4021608000=0

答えは、10, 40/3, 2501/250, 201/20 だそうですが、解き方分かりますか？

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

(きれいな解があるかどうか分からない)高次代数方程式を解く場合，私は
1)グラフを描いて，実数解のあたりをつける。
2)数値的に実数解を求める。組み立て除法で割り算して次数を下げる。
を繰り返しています。

これは重根と近接根がある，解きにくいケースですね。

まず，xに整数値-10から20くらいを代入してグラフの概形を描くと，
x=10が解であること，13と14の間に解があることが分かります。
13付近の解を数値的に求めると，13.333333と出てくるので，40/3が答えかな，と推測できます。
組み立て除法で，(x-10)と(x-40/3)で割り算すると3次方程式
30000X^3-901620X^2+9032406X-30162060=0
になります。再び整数値を入れて表を作ってみると，x=10が根だと分かります(重根だったんだ!)。
組み立て除法で割り算して，2次方程式
30000X^2-601620X+3016206=0
を得ます。解の公式に入れて10.027±0.023が残りの解です。

ちなみに元の5次式を(X-40/3)で割ると，
30000X^4-1201620X^3+18048606X^2-120486120X+301620600=0となり，30000(X-10)^4=
30000X^4-1200000X^3+18000000X^2-120000000X+300000000と近い係数になります。

回答No.1

Knotopolog

五次方程式
30000x^5-1601620x^4+34070206x^3-361134200x^2+1908102200x-4021608000=0
は，

2 (x－10)^2 (3x－40) (20x－201) (250x－2501)＝0

と因数分解できますから，解は，

x＝10, 40/3, 201/20, 2501/250 です．