積分できません

質問

∫｛全空間｝dr・exp(-iK;r)/r

分子のｒのみがスカラーでその他のＫとｒはベクトルです

答えは４π/K^2になるらしいのですがうまくいきません。
おそらくＫ方向にｚ軸をとって、球座標で展開していくのだと思うのですが最後にうまく収束させることができません。

詳細な計算過程をお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

ヒントだけ。
球面座標に変数変換するとφ積分はすぐにできます。
次にrについて積分を行いますが、これはθの範囲で切り分けて計算を行います。
cosθ>0の範囲とcosθ<0の範囲で分けます。

cosθ>0の範囲での積分。
これはrが複素数であるとすると、被積分関数がいたるところで正則であることを利用します。
つまり、複素平面上の閉じたい経路に沿った積分が"0"になることを使います。
次のような経路に沿った積分を考えてみるとよいでしょう。
1.実軸上でr=0～R
2.r=Rからr=0を中心に半径Rの円周を時計回りにπ/2 (r:R～-iR)
3.虚数軸上をr:-iR～0
R→∞とすると1.が求める積分になり、3.は計算できる形になります。さて2.はどうなるか。
1.2.3.の積分を足すと"0"になることから1.の積分の値を求めることができるでしょう。

cosθ<0の場合は経路を変えて考えないといけません。