二重積分の定積分？

質問

∬exp(-sinθ/r)dθdr
　(-π≦θ≦0), (2≦r≦9)
といった問題というか論文の考察なんです。rが0から∞までなら解けるような気がするんですが、デカルト座標に直してもいまいちわかりませんでした。こういった場合、教科書に載っているように定積分は求められないのでしょうか？
　何か近似でもあると助かるんですが、数学が得意な方、よろしくお願いします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度に

　∬exp(-sinθ/r)dθdr
　(-π≦θ≦0), (2≦r≦9)

（1）rを定数、θを変数として積分　
0≦θ≦π/2, (2/π)≦(sinθ/θ)≦1, だから、
∫[-π→0]exp(-sinθ/r)dθ=∫[π→0]exp(-sin(-θ)/r)d(-θ)
=∫[0→π]exp(sinθ/r)dθ≦2∫[0→π/2]exp(2θ/πr)dθ
θ'=2θ/πr, dθ=(πr/2)dθ'
=πr∫[0→1/r]exp(θ')dθ'=πr{exp(1/r)-1} >0

∫[-π→0]exp(-sinθ/r)dθ=πr{exp(1/r)-1}
∫[2→9]{∫[-π→0]exp(-sinθ/r)dθ}dr
≦∫[2→9]πr{exp(1/r)-1}dr
=∫[2→9]π{1+1/(1/2!r)+(1/3!r＾2)・・・}dr
≒π{r+(1/2)lnr-(1/6r)}
=π{(9-2)+(1/2)(ln9-ln2)+1/12-1/54}
=π(7+0.752+0.083)=7.835π=24.61

r*{exp(1/r)-1}=r*{(1/r)+(1/2!r＾2)+(1/3!r＾3)・・・・
=1+1/(1/2!r)+(1/3!r＾2)・・・

お礼

なるほど、これならどの値にも適用できそうですね。僕はテイラー展開になる前のあたりで躓いてしまいました。
　非常に参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#108554

Mathematicaに計算させたところ、解析的には出ませんでした。
数値的には、25.3333になりました。

お礼

実は何種類か変数の範囲があるので、解き方を知りたかったんですが…
　わざわざ計算していただいてありがとうございました。