数Aの問題パート2

質問

xについての整数 x~2-ax~2-x-bが(x-a)~2で割り切れるときのa、bのうちa>bを満たすa、bの値と、このときの商を求めよ。

アイディアが浮びません。教えて下さい。お願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

heroakiさん、こんにちは。

＞xについての整数 x~2-ax~2-x-bが(x-a)~2で割り切れるときのa、bのうちa>bを満たすa、bの値と、このときの商を求めよ。
　　　　　　　↑
これ、x^3-ax^2-x-b
ですよね？

f(x)=x^3-ax^2-x-b・・・・・(1)
のように、おきます。
f(x)が(x-a)^2を因数に持つ、ということですから
因数定理より、
f(a)=0となるはず。
実際、入れてみて
f(a)=a^3-a^3-a-b=0
ゆえにb=-aとおけますから、(1)式は、
f(x)=x^3-ax^2-x+aとなり、因数分解すれば

f(x)=x^2(x-a)-(x-a)
=(x^2-1)(x-a)
=(x-1)(x+1)(x-a)

と因数分解できますね。
(x-a)という因数をもう一つ持つには、
a=1またはa=-1
でなければなりません。

a=1のとき、b=-a=-1これはa>bを満たすのでＯＫ

a==1のとき、b=-a=1となってa>bに合わないので不適。

よって、(a,b)=(1,-1)
ということになるかと思います。
因数定理で入れてみるのがヒントです。頑張ってください。

お礼

2つもありがとうございました。テストでこの問題がでたら必ず解けるように頑張ります。