初歩的な数学の問題です

質問

この問題の解き方が分かりません。まず、どのようにすればよいのでしょうか？展開等したのですが分かりません。教えて下さい。
ax＜2a(a+2) と (a+2)x≧a(a+2)がある。この解に入る整数がただ一つであるようなaの値を求めなさい。aは整数である。
という問題です。よろしくお願いします。

回答No.3

riddle09 · ベストアンサー

どちらの不等式もそれぞれ共通項があるので、その共通項の正・負によって場合分けして考えていけば解けます。

ａｘ＜２ａ(ａ＋２)を式１　(ａ＋２)ｘ≧ａ(ａ＋２)を式２とする。

(１)０＜ａのとき
　　式１をａで割れば　ｘ＜２ａ＋４
　　式２を(ａ＋２)で割れば　ｘ≧ａ
　　∴ａ≦ｘ＜２ａ＋４
　　ここで、ａは正の整数だから、ｘの整数解はａ＋３個、つまり
　　４個以上存在することになり条件を満たさない。
(２)ａ＝０のとき
　　式１に代入すると　０＜０となり不合理。
(３)－２＜ａ＜０のとき
　　式１をａで割れば　ｘ＞２ａ＋４
　　式２を(ａ＋２)で割れば　ｘ≧ａ
　　ｘは上に開放で無数に解が存在してしまい条件を満たさない。
(４)ａ＝－２のとき
　　式１より　－２ｘ＜０
　　式２に代入すると　０≧０
　　となり無数に解が存在して条件を満たさない。
(５)ａ＜－２のとき
　　式１より　ｘ＞２ａ＋４
　　式２より　ｘ≦ａ
　　∴２ａ＋４＜ｘ≦ａ
　　この式を満たす整数ｘは、ａ－(２ａ＋４)＝(－ａ－４)個存在する。
　　従って、ｘの整数解がただ一つになるには
　　(－ａ－４)＝１　∴ａ＝－５

以上より、ｘの整数解がただ一つになるような整数ａは－５である。

お礼

ありがとうございます！！
よく分かりました。

回答No.4

info22

>初歩的な数学の問題です
>この問題の解き方が分かりません。
初歩的であるならなぜ解き方が分からないのですか？
解き方が分からないなら初歩的といったタイトルで質問しないこと。
「整数の存在条件の問題」とでもすべきです。

>「ax＜2a(a+2) と (a+2)x≧a(a+2)がある。」
>「この解に入る整数がただ一つ …」
この表現はおかしいので、「これらの2つの不等式を同時に満たす整数xがただ1つ …」とすべきでしょう。

解き方
a≧-2の場合は題意を満たさないので除外する。
a<-2の場合は
2(a+2)<x≦aとなるので
横軸をa軸、縦軸をx軸にとって不等式を満たす領域をプロットして
その領域に整数xが1つだけ存在するaの範囲をグラフから求め、
その範囲内のaの整数値を求めればよい。

題意を満たすaの範囲が-5.5≦<a<-4.5となるので
a=-5(このときx=-5)が求まる。

お礼

このような問題は「整数の存在条件」の問題なのですね。全く分からず、変なタイトルにしてしまい、すいませんでした。

回答No.2

mister_moonlight

場合分けなんて面倒な事はやってられない。

y＝aとすると、最初の式は、y*（x-2y-4）＜0　‥‥(1)。次の式は、（y+2）*（x-y）≦0.‥‥(2)
(1)と(2)をxy平面上に図示して、y＝a　（x軸に平行な直線）を上下に動かすと、条件を満たすaの値は自動的に出る。

お礼

座標でもできるのですね！
ありがとうございます。

回答No.1

bgm38489

まず、両方の式とに左右を共通項で割ることができますね。割る数が０であってはならないけども、仮にどちらかの式の割る数が0となれば、一つの式だけしか生き残らないので、、解（ｘの値）の整数はは一つにはならない。
即ち、両方とも共通項を取り除いて簡単にできる―
こういう風に、解けばいいのだけど、単に共通項で割るとだけすると、答えには行き着かない。その共通項が負である場合は、不等号の向きは逆になるのだから。

お礼

場合分けをするのですね。
ありがとうございます。