数学の問題です。助けてください！

質問

固有多項式φA(x)=(x-1)(x-4)(x+4)(x+1)

(1)Aの固有値をもとめよ。
(2)Aのトレースを求めよ。
(3)Aの行列式の値を求めよ。
(4)Aは対角化可能か？その理由も述べよ。
(5)A^5をA^3,A^2,A,Eの一次結合で表せ。

多いですが一問だけでもいいのでよろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

(1) 固有値は、固有多項式の根です。
固有多項式が 4 次式ということは、
A は 4 次正方行列ですね？

(2) トレースは、全ての固有の和、
(3) 行列式は、全ての固有値の積です。
解と係数の関係から、求められるでしょう。

(4) 全ての正方行列は、ジョルダン標準形に
することができます。
ジョルダン標準形が対角行列になっている行列が、
対角化可能な行列です。
φA が重根を持たないことが、重要ですね。

(5) 固有多項式にもとの行列を代入すると、
値は零行列になります。φA(A)=O. これを
「ケイリー・ハミルトンの定理」といいます。
質問の A の場合、Aの4乗 が A の 3 次式で
表されることになるので、A を掛ければよいですね。

…さあ、やってみましょう。
補足に書けば、講評しますよ。

回答No.2

Tacosan

ちょっとくらい考えようとは思わないものかねぇ....

とりあえず教科書なりなんなりを見て分からないところを挙げよ.

回答No.1

kinuakimitaina

本来どこが分からないか書かないといけませんが。。。

(1) 1, √2
(2) trA = 1+√2
(3) detA = √2
(4) 対角化可能である。次元と相異なる固有値の個数が等しい
(5) A^5 = 2A^3 +3A^2 +4A +3

補足

質問に書き忘れて申し訳ないのでですが、もしよろしければ途中式もお願いします。