線形の表現行列

質問

とりあえず問題原文です。
実数を成分とする2次行列全体のなすベクトル空間をM2(R)とし、その一組の基底を(E1,E2,E3,E4)とする。
E1=(1,0,0,0) E2=(0,1,0,0) E3=(0,0,1,0) E4=(0,0,0,1)

(E1,E2,E3,E4)から基底(E'1,E'2,E'3,E'4)への基底の変換行列Pを求めよ。
E'1=(1,-1,0,0) E'2=(1,0,0,1) E'3=(0,-1,1,-1) E'4=(1,0,1,0)

行列は2次の正方行列です

なんとなく(E'1,E'2,E'3,E'4)=(E1,E2,E3,E4)Pとおくような気がするんですがこれを解こうとしても解けないです。
誰かご返答よろしくお願いします。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

そう, やることは行ベクトルだろうと列ベクトルだろうと 2次正方行列だろうと同じなんです. どんな場合であっても, 基底 (e_1, ..., e_n) によって (別の) 基底 (e'_1, ..., e'_n) が
(※) e'_j = Σ_i p_(ij) e_i
と書けるとき, 基底 (e_1, ..., e_n) から (e'_1, ..., e'_n) への変換行列を P = (p_(ij)) で表します.

「記号として」見れば
(※※) (E'1,E'2,E'3,E'4)=(E1,E2,E3,E4)P
のように書けるんだけど, これは上の (※) をまとめて書いただけです. つまり (E1, ..., E4) は「4個の記号を並べただけ」です. ひょっとしたら「E1～E4 は 2次行列だから (E1, ..., E4) は 2×8行列?」と思っちゃったのかもしれませんが, そう思ったら負けです.

E1～E4 (と E'1～E'4) が 4次の列ベクトルなら (※※) から P を求めればそれで済むんですが, これは「本当は (※) から P を求めるんだけど, その代わりに (※※) を使って求めることができる」というだけです. あくまで基本は (※) です.

お礼

何度も丁寧にありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

うぅん.... 「基底の変換行列とはなんなのか」からやらないとだめなのかなぁ....

E1～E4 および E'1～E'4 が (2次行列ではなく) 質問文に書かれている行ベクトルだとして,
「『基底 (E1, ..., E4) から基底 (E'1, ..., E'4) への変換行列』というものがどのようなものであるかを, 変換行列の成分を使って書いてみてください」
って聞かれたときに同じように
「変換行列をP1~P4として E'i=EiPi i=1,2,3,4」
と答えますか?

あるいは, 上の部分で「行ベクトル」が「列ベクトル」だったらどうしますか?

補足

お手数お掛けしてすいません。
ちょっとわかった気がします。
行ベクトルと考えたらEは単位ベクトルつまり標準基でこれを用いて、たとえばE'1=E1-E2って感じで表していけばいいのでしょうか？そうするとE'2=E1+E4,E'3=-E2+E3-E4,E'4=E1+E3 つてなりました。
こう考えれば列ベクトルだろうが行ベクトルだろうが同様の考えになりますよね？

回答No.2

alice_44

E1 や E'1 が行ベクトルなのか列ベクトルなのか、
P が何行何列の行列なのか…を確認すれば、
「これを解く」も何も、貴方は既に解を得ている
ことに気付くでしょう。
それでもダメなら、単位行列とは何か？
について考えてみること。

補足

説明不足ですいません
E,E'が列ベクトルや行ベクトルだったら分かるんですが、E、E'が2×2行列のときが分かりません
この場合どのように考えたら良いのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

「(E1,E2,E3,E4)から基底(E'1,E'2,E'3,E'4)への基底の変換行列」というものがどのようなものであるかを, 変換行列の成分を使って書いてみてください.

補足

変換行列をP1~P4として
E'i=EiPi i=1,2,3,4

でしょうか？