三角形ＡＢＣにおいて

質問

ＡＢ＝5　ＢＣ＝7　ＣＡ＝8の時次の値を求めよ。
△ＡＢＣの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。
どういう図かが想像できません。
教えてください。

回答No.9

ferien · ベストアンサー

>先ほどの半径は、今度は内接円の半径と考えます。ｒ＝７ルート３／３
>
>となっていますが内接円と外接円がなぜ等しいのでしょうか？

外接円と内接円が等しいのではなくて、△ＡＢＣの立場から見ると外接円と言うことになりますが、

正三角形の立場から見れば内接円になると言うことです。

同じ円の半径なんですが、正三角形にとっては、内接円の半径になると言うことです。

>先ほどの半径は、今度は正三角形の内接円の半径と考えます。

と表せば良かったですね。

また何かあったら、お願いします。

お礼

本当にありがとうございました、私のために時間を割いていただき誠に感謝します。
また何かあればよろしくお願いいたします。(*´∀｀*)(*´∀｀*)(*´∀｀*)

回答No.8

ferien

ＡＢ＝5　ＢＣ＝7　ＣＡ＝8の時次の値を求めよ。
△ＡＢＣの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。
どういう図かが想像できません。
教えてください。

正三角形の図は、円周上に基準になる点を１つとり、中心からその点まで結びます。

その基準から、中心角を３つに等分します（１２０度）。円周上にしるしを付けていきます。
（ここで時間をかけても仕方ないので、分度器を使いました。）

中心から、しるしまで線を引きます。半径が３つ描けていると思います。

正三角形の辺は、その円周上の３つの点における接線です。３箇所で半径に垂直になるように接線を引けば、正三角形が描けるはずです。

（図があった方が分かりやすいので、できれば描いてみて下さい。）

円の半径は、△ＡＢＣの外接円の半径ですが、正三角形の内接円の半径でもあるので、
正三角形の一辺の長さを求めるときは、内接円に関する性質を使います。

（１）△ＡＢＣの外接円とみて、その半径を求めます。

△ＡＢＣの面積を求めます。３辺の長さがわかっているので、ヘロンの公式を使います。
　面積Ｓ＝１０ルート３

外接円の半径を求めます。３辺が分かっているので、３辺をａ,ｂ,ｃとして、

公式　S＝ａｂｃ／４Ｒ　（Ｒは外接円の半径）を使います。

１０ルート３＝５・８・７／４Ｒ　より、よって、Ｒ＝７ルート３／３

（２）正三角形の１辺の長さを求めます。

１辺の長さをｘとおきます。
先ほどの半径は、今度は内接円の半径と考えます。ｒ＝７ルート３／３

正三角形の面積を求めます。正三角形の性質から、１辺がｘなら、高さは（ルート３／２）ｘ

面積＝ｘ×（ルート３／２）ｘ×（１／２）……（１）

別な方法で正三角形の面積を求めます。
今度は、１辺がｘ、高さがｒの合同な３つの三角形が組み合わさったものとみて下さい。

面積＝ｘ×ｒ×（１／２）×３＝ｘ×（７ルート３／３）×（１／２）×３　……（２）

（１）＝（２）として、解きます。　答えは、ｘ＝７×２　でした。

補足

本当に本当にありがとうございます、図形書きました、外接円の半径を求めます。３辺が分かっているので、３辺をａ,ｂ,ｃとして、

公式　S＝ａｂｃ／４Ｒ　（Ｒは外接円の半径）を使います。

１０ルート３＝５・８・７／４Ｒ　より、よって、Ｒ＝７ルート３／３

（２）正三角形の１辺の長さを求めます。

１辺の長さをｘとおきます。
先ほどの半径は、今度は内接円の半径と考えます。ｒ＝７ルート３／３

となっていますが内接円と外接円がなぜ等しいのでしょうか？

回答No.7

ferien

No.2，No.3です。訂正です。

>△ＡＢＣの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。

について、正三角形も円に内接するのだと勘違いしていました。

No.2の以下の部分と、

>外接する正三角形の一辺の長さは、７cmです。何となく描けます。
>
>それが正三角形であることも一応は示すこともできます。
>面積や外接円の半径が求められるので、直角三角形の辺の長さの比の関係から、角の大きさも求めるこ>とができるからです。

No.3の補足の部分は、削除でお願いします。

図で言えば、正三角形の中に円が収まる感じです。

もう少し考えてみます。

回答No.6

banakona

#4です。

また間違えた。外接円に外接するんですね。
円に外接する正三角形の一辺の長さは、その円に内接す正三角形の一辺の長さの２倍なので図的にあまり変らない？

#3さんにもご迷惑をお掛けしました。

回答No.5

banakona

＃３です。

すみません。ＡとＢが逆でした。
アノ角度になるのはＡです。
図も下が正解。

回答No.4

banakona

大体、（ａ）のような感じになるとイメージする。
余弦定理を使うと、Ａ，Ｃは綺麗な値にならないけど、Ｂはアノ角度になることが分かる。

コレを受けると（ｂ）のような図にできる。

回答No.3

ferien

補足と訂正です。

反直線　→、半直線　です。

>外接する正三角形の一辺の長さは、７cmです。何となく描けます。

ＢＣ＝７cmも関係があります。

外接円の中心を見つけるときに、ＢＣの垂直二等分線を描けばいいです。

その垂直二等分線を円周上まで延長したときに、また交点ができますが、
その点からＢ，Ｃへ向かって線分を引くと、正三角形が描けます。

回答No.2

ferien

ＡＢ＝5　ＢＣ＝7　ＣＡ＝8の時次の値を求めよ。
△ＡＢＣの外接円に外接する正三角形の一辺の長さ。
どういう図かが想像できません。
教えてください。

コンパスと定規を使えば描けます。（描いて見て下さい）

ＢＣを底辺と考えて、適当に反直線を引いて、コンパスで長さ７cmをとり、
左側をＢ，右側をＣとします。
コンパスでＡＢ＝５cmの長さををとり、Ｂを中心とした円を描くつもりで途中まで描きます。

今度はＡＣ＝８cmをとり、Ｃを中心とした円を描くつもりで先ほどの描いたＢの円との交点を見つけます。交点を見つければいいので、ほんの途中まで描いておけばいいです。その交点がＡです。
そのＡから、Ｂ，Ｃへの線分を引けばいいです。

外接円の中心は、△ＡＢＣから適当に２本の辺を選んで、それぞれの垂直二等分線を引くと、また交点ができます。それが外接円の中心です。

必ずずれるので、正確に描くのは難しいですが　一応頂点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円が描けます。

外接する正三角形の一辺の長さは、７cmです。何となく描けます。

それが正三角形であることも一応は示すこともできます。
面積や外接円の半径が求められるので、直角三角形の辺の長さの比の関係から、角の大きさも求めることができるからです。

回答No.1

asuncion

＞どういう図かが想像できません。

問題を細分化して考えてみてはどうでしょうか。例えば、
（１）△ＡＢＣに外接する円
（２）前項の円に外接する正三角形

補足

ということは〇（円）の中に△ＡＢＣがありさらに正三角形があるということですか？