導波管内のマイクロ波の伝播の壁面での境界条件

質問

導波管におけるマイクロ波の伝播の壁面での境界条件について

最近導波管の勉強を始めました。参考書を読んでいると、

導波管の壁面での抵抗を無視すると、壁面での境界条件は、
n×E = 0
n ・ H = 0　　　(n：壁面の法線ベクトル)
である。

また、これらの境界条件の式は、
Et = 0
Hn = 0、ðHt/ðn = 0　　　(添え字t：壁面の接線成分　　添え字n：壁面の法線成分)
とも書くことができる。

とありました。どうしてこのようなことが言えるのか、考え方がまったく分からず困っています。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

Et = 0はn×E = 0は両辺に(t×)をとってベクトル演算の公式を使えばよい。
あるいは、E=Et+Enと考えてもよい。n×Etは値の異なる別のEtとなる。

Hn = 0　は　n ・ H = 0　の別表現。

問題はðHt/ðn = 0である（左辺は物理の本でお気軽に使用されているが、意味を具体的に述べたものが少ないので注意が必要である）。

これは、(∇(H・t))・nのことである。そこで、その前の部分にベクトル微分の公式を使って
∇(H・t)=(t・∇)H+(H・∇)t+H×(∇×t)+t×(∇×H)

ここで、右辺の2,3項は定ベクトルの微分なので0である（たとえばt・t=1の両辺をある変数αで微分すると∂t/∂α=0を得る）。

右辺4項はマクスウェルの式を使って（めんどなので時間と接線記号は同じ）
t×(∇×H) ∝ t×(∂E/∂t)=∂(t×E)/∂t
この式に(・n)をとると時間微分の中身は　(t×E)・nとなり、これも明らかであるがベクトル演算の公式から0となる（n,tは時間について全くの定数なので偏微分の中へ出入り自由）。

結局　ðHt/ðn=((t・∇)H)・n=(t・∇)(H・n)=0　を得る。

学生の頃、導波管の計算をしたが、この部分、TE波の境界条件で見た限りの書籍はごまかしていた。当時は、何とかまわりくねって、同等の条件を導いた。現在の書籍にもこの部分の説明はないようである（ジャクソンの本も特殊条件での導出である）。今回改めて考えてみた。

お礼

詳しい説明ありがとうございます
もう一度自分で考え直してみますが何とかなりそうです

回答No.5

endlessriver

#3です。
また誤りました。(>_<)

∂Ht/∂n=0 は方形導波管では成立しますが、円形導波管および同軸管では成立していませんでした。

回答No.4

noname#252164

どこで引っかかっているのかな？
難しいことは前の方が書いているので、簡単な考え方だけ。

導波管の壁面が抵抗ゼロってことは、壁面に電圧かけると無限大の電流がながれて電圧はゼロになる。
つまり壁面に沿った電界は常にゼロってことなんです。

これってEt＝０と言ってることはおんなじですよね。
あとは電界と磁界の関係から、Hnも０ですよね。

お礼

簡単な説明があると理解の助けになるのでとてもありがたいです
ありがとうございました

回答No.3

endlessriver

通常の磁界の境界条件の導出と同様、境界近傍に接線t方向に幅Δw、法線n方向にΔhの長方形のループをとる。tは時間と接ベクトルの記号なので注意。

ただし、ここでは、境界の面電流を除外するため、ループの中心は導体境界から外側へΔhの距離にとる。このループ面で　∇×H=i+ε∂tE　を面積分する。左辺はストークスの定理から線積分にする（t方向のの線分を1,2、n方向の線分を3,4とする）。２次の微少を無視して

(Ht1-Ht2)Δw+(Hn3-Hn4)Δh=ε(∂tE)・uΔwΔh

となる。ここでuはtとnに直交するもう一つの単位接ベクトルであり、t=u×nを満たす。
単位ベクトルn,t,u座標のみ関数だから(∂tE)・u=∂tEuとなる。EuはEのu方向の成分である。
上式をΔwΔhで割り、Δw→0、Δh→0とすると、

∂Ht/∂h+∂Hn/∂w=ε(∂tEu)

つぎに、境界面ではHn=0だから、これをwで微分すれば∂Hn/∂w=0となる。∂Hn/∂wを連続と仮定すればΔh→0のとき、上式左辺第二項は0となる。

同様な議論で、境界で電界の接線成分Euは0だから∂tEu=0。結局、∂Ht/∂h=0　となる。
これはðHt/ðn = 0と同じものである。

回答No.2

endlessriver

#1です。
誤ったようです。m(_ _)m
t,nは座標の関数なので
t・∂t/∂α=0から∂t/∂α=0は言えませんでした。

また、((t・∇)H)・n=(t・∇)(H・n)も言えませんでした。