ベクトル解析の速度ベクトルについて、

質問

ベクトルの曲線の部分です。
加速度の接線成分は　aｔ＝a・T で、（Ｔは単位接線ベクトル）、もっと簡単にすれば、at=dV/dt　で計算するんです。

加速度の法線成分は　an = a・n　で、（ｎは単位法線ベクトル）。

写真の問題はａｔは簡単にできたが、ａｎはどうしてもできないんです。なぜかというと、Ｔをさらに微分するのは無理だと思います。
今まで、何かぼくの考えが間違ったか、教えてください。anについて、ほかの簡単に計算できる方法はありませんか？教えてください～

回答No.1

e_o_m · ベストアンサー

とりあえずr=(t,1/2*t^2,1/3*t^3)としたとき、速度ベクトルvはrのそれぞれの成分をtで微分すればよいので
v=(1,t,t^2)
となります。
（　|v|=√(1+t^2+t^4)　)

加速度の接線成分|at|は質問者様がおっしゃるように、速さ|v|をtで微分すればよいので
|at|=d|v|/dt=(t+2t^3)/√(1+t^2+t^4)
と計算出来ます。

加速度ベクトルaは加速度ベクトルの"接線ベクトル"atと"法線ベクトル"の足し算
a=at+an （注：ベクトルの足し算です。成分の足し算ではありませんよ）
と表すことが出来ますね。
加速度ベクトルは速度ベクトルの微分なのでa=(0,1,2t)です。

単位接線ベクトルTは速度ベクトルの単位ベクトル、すなわち
T=v/|v|=1/√(1+t^2+t^4)*(1,t,t^2)
と計算できるので結局加速度ベクトルの法線ベクトルanは
an=a-at=a-|at|*T
=(0,1,2t)-(t+2t^3)/√(1+t^2+t^4)*1/√(1+t^2+t^4)*(1,t,t^2)
と計算できます。

回答No.2

arrysthmia

T は、T = v/|v| によって、各成分が t の関数として書けますから、
更に t で微分することは可能です。
無理なのと、計算するのが面倒臭いのとは、全く違うことです。

an が求められなかったのは、T が微分できなかったからではなく、
n が分からなかったからではないでしょうか？
三次元曲線の「法線ベクトル」と言っても、接線に垂直な方向は
二次元あり、どの方向が法線方向だかわかりません。

実は、a = (at) T + (an) n を満たす単位ベクトル n を
曲線 r の「主法線ベクトル」と言い、むしろこの式によって
n を定義するのです。ですから、an を求める式は、
an = | a - (at) T | になります。この式に、dT/dt は出てきません。

主法線方向だけが法線方向ではない ことには、注意が必要です。