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行列
条件Ｘ^-４Ｘ+３Ｅ=Ｏ・・・＊をみたすときこのようなｘｙを座標とする点(ｘ、ｙ)の存在範囲を図示せよ。ただし x z Ｘ＝（ ）であり、その成分は実数である z y trＸ=p、detＸ=qとおく ケーリーハミルトンの定理より Ｘ^2＝pＸ-qＥ ＊に代入して (p-4)Ｘ-(q-3)Ｅ＝Ｏ (i)p-4=0のときq-3=0⇔x+y=4,xy=3+z^2 (ii)p-4≠0のとき Ｘ＝{(q-3)/(q-4)}Ｅ≡kＥ ＊に代入して Ｅ(k^2-4k-3)=Ｏ ∴k=1，3 k=1のとき(x-1)(y-1)=z^2 k=3のときxy-3x-3y=z^2-1 zをどう処理すればいいかわかりません。 実数条件→判別式が正。かと思うがＺについて判別式or z^2>0？ xyの解と係数の関係をどうにかつかう？
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ONEONEさん、こんにちは。＃３です。 ＞つまりは（1，1）(3，3)とxｙ=3、x+y=4の交点の間の線分（x+y=4,1≦x≦3） ということですか。 そういうことですよね！ xy≧3 というのは、双曲線xy=3の、上側の部分（領域）ですよね。 これと、x+y=4 との交点は、 xy=3 x+y=4 を解いて、x=1,3です。 x=1のとき、y=3 x=3のとき、y=1 双曲線の上側の部分で、しかもx+y=4となっているのは 点(1,3)と(3,1)の間の部分ですね。 これはちょうど、1≦x≦3を満たしています。 それと、点(1,1)と(3,3)も満たします。 点(1,3)と(3,1)を結ぶ線分 ただし、x+y=4の1≦x≦3の部分 と、 ２点(1,1)と(3,3) のように説明したらいいでしょうか。 ちょっと変わった？問題ですよね。
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- fushigichan
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ONEONEさん、こんにちは。 指針は出ていますので、解説ですが、 ＞(p-4)Ｘ-(q-3)Ｅ＝Ｏ (i)p-4=0のときq-3=0⇔x+y=4,xy=3+z^2 ここのところ、すごくいいと思います。 (4-(x+y))X+(xy-z^2-3)E=0 0:0行列 ですから、場合わけ 1)x+y=4のとき、xy=z^2+3 z^2=xy-3≧0より、xy≧3 これにx+y=4を代入 x(4-x)≧3 -x^2+4x-3≧0 x^2-4x+3=(x-1)(x-3)≦0 1≦x≦3←定義域と考えればよい ですから、このときは、双曲線xy=3の上の領域と、 直線x+y=4との交わる部分。 さらに、定義域は1≦x≦3で考えればよいでしょう。 2)x+y=4のとき、 成分計算すれば X={(3-xy)/((4-(x+y))}*E となるので、単位行列の実数倍であるから、z=0のはず。 また、 x z Ｘ＝（ ） z y なので、 (1,1)成分を比べると x=(3-xy)/(4-(x+y))=y x=yより、 (3-x^2)/(4-2x)=x 3-x^2=x(4-2x) 3-x^2=4x-2x^2 x^2-4x;3=(x-1)(x-3)=0 x=1,3 x=1のとき、y=1このとき、X=E x=3のとき、y=3このとき、X=3E ですから、このときは点(1,1)(3,3)になりますね。 1)2)を図示すればいいですね。頑張ってください。
お礼
どうもありがとうございます つまりは（1，1）(3，3)とxｙ=3、x+y=4の交点の間の線分（x+y=4,1≦x≦3） ということですか。
そこまで出来ていればほとんど終わりでしょう。 ｘ＋ｙ＝４，ｘｙ＝３＋ｔ＾２ ｔが任意の実数ならば ｔ＾２≧０ ｘｙ≧３ 図示すれば双曲線の外側で直線ｘ＋ｙ＝４ ｘ（４－ｘ）≧３ ｘ＾２－４ｘ＋３≦０ 後半Ｘ＝ｋＥ の場合はｘ＝ｙ＝ｋ，ｚ＝０ Ｅは単位行列です。
お礼
ありがとうございます。 題名に行列と書いたけれども、わかってないのは違うとこでしたね。 前半の示すところはxy≧3かつx+y=4のところなのですか？
- kony0
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少なくとも、(ii)でk=1のときは、X=E→x=1,y=1,z=0と出るのでは？同様に、x=3,y=3,z=0も解。 (i)は、z^2≧0を使えばよいと思います。直線上かつ双曲線より上側なので、直線を双曲線で切った部分が該当します。 まじめに考えるなら、x=t, y=4-t, z=√{t(4-t)-3}とおけば、√の中身≧０より、1≦t≦3が導出されます。
お礼
「木を見て森を見ず」の状態でした。 (ii)でどうしてそこに気付かなかったのか・・・。 どうもありがとうございます。
お礼
どうもありがとうございました。納得できた。