留数定理の問題

質問

次の積分を求めよ。

　　　　∫0から2π（dθ/（1+kcosθ)）,　k^2<1

この問題の解法がわかる方がいらっしゃいましたらご教授お願いします。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

z=e^{iθ}
とすると
1/(1+kcosθ)=2z/{2z+k(z^2+1)}
dθ/dz=1/(iz)
となる
f(z)=-2i/(kz^2+2z+k)
C={z||z|=1}
とすると
∫_{0～2π}{1/(1+kcosθ)}dθ=∫_{C}f(z)dz
f(z)の分母を0にするzは
{-1+√(1-k^2)}/kと{-1-√(1-k^2)}/kである
0<k^2<1だから
0<1-k^2<1
0<(1-k^2)^2<1-k^2
0<1-k^2<√(1-k^2)
0<2-2k^2<2√(1-k^2)
2-k^2-2√(1-k^2)<k^2
{-1+√(1-k^2)}^2=2-k^2-2√(1-k^2)<k^2
{-1+√(1-k^2)}^2/k^2<1
|{-1+√(1-k^2)}/k|^2<1
|{-1+√(1-k^2)}/k|<1
一方
|{-1-√(1-k^2)}/k|>1
だから
f(z)の特異点でCの内部|z|<1にあるものは
{-1+√(1-k^2)}/k
だけで1位の極である
Res[f(z),{-1+√(1-k^2)}/k]
=lim_{z→{-1+√(1-k^2)}/k}[-2i/{kz+1+√(1-k^2)}]
=-i/√(1-k^2)

∫_{C}f(z)dz=2πi{-i/√(1-k^2)}=2π/√(1-k^2)

お礼

とてもご丁寧に書いていただき、ありがとうございます！助かりました。

回答No.3

alice_44

どうしても留数定理を使いたいなら、
被積分関数の極と留数を求める他に、
適切な積分路を設定することが必要になる。
前述の如く積分区間を -π～π に変更した後、
長方形 -π → π→ π+ri → -π+ri → -π を
巡る周回積分の値を留数定理で計算し、
r→∞ の極限を考えれば、問題の積分が求まる。

お礼

なるほど！そんな方法があるとは思いつきませんでした。参考にさせていただきます。

回答No.2

Ae610

留数定理で計算したいのであれば・・・
z = e^(iθ)と置いて
∫[0→2π]{1/(1 + kcosθ)]dθにおいて
cosθ = (1/2)・(z + 1/z)
dθ = (1/iz)dz
・・・としてzの積分を考える。
そうすると被積分関数は|z|＜1で一位の極(z = √(1/k^2－1)－1/k)を持つから留数が求まる。

当方が計算したところでは（計算間違えしてなければ・・・）
∫[0→2π]{1/(1 + kcosθ)]dθ = 2π/√(1－k^2)

補足

>被積分関数は|z|＜1で一位の極(z = √(1/k^2－1)－1/k)で一位の極(z = √(1/k^2－1)－1/k)を持つから留数が求まる.

初歩的問題かもしれませんがz = √(1/k^2－1)－1/kが|z|＜1内の点であるということはどのようにしたらわかるのでしょうか？

回答No.1

alice_44

留数定理もいいけど、
t = tan(θ/2) で一旦置換した後
t = (tan u) √｛(1+k)/(1-k)｝ で再度置換すれば、
初等的に積分できる。
積分範囲を 0～2π から -π～π へ変更して、
上記置換を行う。

補足

問題では留数定理を用いて解けと書いているので留数定理を用いた解法をお願いします。
ちなみに答えは2π/√（１－ｋ＾２）です。