数学I

質問

下記の問題を教えてください。
１〕|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝１を解きなさい。

例えば、|ｘ＋３|＝５の場合、－（ｘ＋３）＝５の場合とｘ＋３＝５の場合の2種類計算しますが、１〕の問題はなぜ、ｘ≦ー１のときと、－１≦ｘ≦１のとき、１≦ｘのときの3種類考えるのですか。また、考えるとき、不等号（≦、≧）ときと、より小さい・より大きい（＜、＞）を使う違いは何ですか。

２〕絶対値を含む不等式|ｘ|＋|ｙ|≦１を満たす範囲を図示せよ。
どう考えたらよろしいのでしょうか。
教えてください。

回答No.6

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞|ｘ＋３|＝５
＞＞|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝１
＞＞なぜ、ｘ≦ー１、－１≦ｘ≦１、１≦ｘ
｜・・・｜＝（定数）
｜・・・｜＋｜・・・｜＝（定数）
｜・・・｜＋｜・・・｜＋｜・・・｜＝（定数）
　絶対値の個数で、（場合分けの数（かず））は上から順に、
　２通り、２＊２＝４通り、２＊２＊２＝８通り、となりそうですが、
　此れは（誤り）ではないのですが、
実際には、もっと少なくて良いのです。
｜ｘ－１｜＝（定数）
｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝（定数）
｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＋｜ｘ－３｜＝（定数）
（場合分け）の（境界点（値））を考えると、
上から順に、
境界点（値）は１。（場合分けの数（かず））は、１＋１＝２通り。
境界点（値）は１、２。（場合分けの数（かず））は、２＋１＝３通り。
境界点（値）は１、２、３。（場合分けの数（かず））は、３＋１＝４通り。
　此れを、数直線で表すと、
（境界点（値）の数（かず））と（場合分けの数（かず））の関係が判り良いと。
ーー（１）ーー
ーー（１）ーー（２）ーー
ーー（１）ーー（２）ーー（３）ーー

　元にもどり、＞＞なぜ、ｘ≦ー１、－１≦ｘ≦１、１≦ｘ
ーーーー（ー１）ーーーー（＋１）ーーーー
ｘ≦ー１、　　　－１≦ｘ≦１、　　　１≦ｘ

話は変わって、（解の確認）に関しては、
|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝１
絶対値を含んだ関数が既知ならば、
ｙ＝|ｘ＋１|＋|ｘ－１|
ｙ＝１
＜○に意味はありません。グラフがズレナイように・・・。＞

＼　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　／
　　＼　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　／
　　　　＼　　　　　　　｜　　　　　　　／
　　　　　　ーーーー（２）ーーーー
○　　　　　　　　　　　｜
○ーーーーーーー（１）ーーーーーーーー
○　　　　　　　　　　　｜　　　　　
ーーー（ー１）ーーーーーーー（＋１）ーーーー
此処まで叩いて＜解ナシ＞で少々・・・・。
誤植なのか、質問のための問題なのか・・・。
何れにしても、どうでも良い事ですが・・・。確認のため。
（ｘ≦ー１）、－２ｘ＝１　（不適）
（－１≦ｘ≦１）、２＝１　（不適）
（１≦ｘ）、　　　２ｘ＝１　（不適）
＝＝＝

＞＞考えるとき、≦、≧ときと、＜、＞
質問の意味が、ハッキリしませんが、推測で書きます。
＊（場合分け）のとき、範囲が（重ならない）のが原則です。
＊端点・境界点（値）が重なっても（問題の性格で）ＯＫのときもあります。
＊此の問題では、重なってもＯＫです。
＊ｘ≦ー１、－１≦ｘ≦１、１≦ｘでＯＫです。
＊ＴＥＸＴでは、必ず一方の等号を除き、ｘ＜ー１、－１≦ｘ＜１、１≦ｘ　となっています。
＊理由は＜いつも可能ではない＞ない。＜誤解を与えぬための配慮＞です。
○試験の時は、ｘ＜ー１、－１≦ｘ＜１、１≦ｘ　が賢明です。
ｘ≦ー１、－１≦ｘ≦１、１≦ｘ　の（記法）はＭＥＲＩＴがあります。
（本質）に（無関係）の時は、（書きやすい）（読みやすい）。

次の回答も（等号が重なる）記法で書きます。
＝＝＝

＞＞|ｘ|＋|ｙ|≦１
＞＞どう考え・・・。
（疑問点）が明確ではなく、簡単な回答になります。
絶対値を、はずす要領は、第一、二、三、四、象限に分ける。
＜象限＞は＜ｘ軸、ｙ軸＞を含まぬ／含むが（曖昧）で（厳密）ではありませんが、
（第１象限）、（ｘ≧０、ｙ≧０）、（ｘ＋ｙ≦１）
（第２象限）、（ｘ≦０、ｙ≧０）、（ーｘ＋ｙ≦１）
（第３象限）、（ｘ≦０、ｙ≦０）、（ーｘーｙ≦１）
（第４象限）、（ｘ≧０、ｙ≦０）、（ｘーｙ≦１）
丁寧に解いていくと、（正方形）となります。
円の方程式が既知ならば、
（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）＝１　との類似性もあります。
　　　　　　　　／＼
　　　　　　／　　　　＼
（ーｘ＋ｙ≦１）　（ｘ＋ｙ≦１）　　　
　　／　　　　　　　　　　　　＼
／　　　　　　　　　　　　　　　　＼
＼　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　＼　　　　　　　　　　　　／　
（ーｘーｙ≦１）　（ｘーｙ≦１）　　　　
　　　　　　＼　　　　／
　　　　　　　　＼／

回答No.5

leap_day

こんにちは

1)3種類というか実際には4種類あって結果的に3種類になっているということです

[1] x+1≧0,x-1≧0のとき
x≧-1 かつ　x≧1　したがって　x≧1のとき
(x+1)+(x-1)=1

[2] x+1≧0,x-1<0のとき
x≧-1　かつ　x<1　したがって　-1≦x<1のとき
(x+1)-(x-1)=1

[3] x+1<0,x-1≧0のとき
x<-1　かつ　x≧1　したがってxの範囲がないので解が出せない

[4] x+1<0,x-1<0のとき
x<-1　かつ　x<1　したがって　x<-1のとき
-(x+1)-(x-1)=1

なので[3]の場合分けがなくなるため3種類になるのです

≧a, ≦a　はaを含んでいるときに使い
＞a, ＜a　はaを含まないという意味です
０は正とみなすので場合分けが正のときに『≧0』を使い、負のときに『＜0』を使います(今回の場合)

2)も同様に4種類でやります
[1] x≧0, y≧0 のとき　x+y≦1
[2] x＜0, y≧0 のとき　x-y≦1
[3] x≧0, y＜0 のとき　-x+y≦1
[4] x＜0, y＜0 のとき　-x-y≦1

でグラフを書いて範囲に当てはまるところを塗ったりして図示します

回答No.4

Ichitsubo

≦、≧も＜、＞もどちらも不等号です。念のため。

回答No.3

monmonx2

絶対値というもののは，何がポイントかを考えて見ましょう．

絶対値の中身がプラスなのかマイナスなのかによって，値が異なるということです．

「１」だと，x+1は，x=-1の点でプラマイ入れ替わり，x-1はx=1で入れ替わります．つまり変化点は２つ．

（１）だから，-１より小さい領域では，ともにマイナス．
（２）－１と１の間では，片方がマイナス
（３）１以上ならどちらもプラスです

＞不等号（≦、≧）ときと、より小さい・より大きい（＜、＞）を使う違いは何ですか。
イコールを含めるかどうかの問題です．≦だとイコールの場合も含めて考えないといけませんね．

この要領です．

回答No.2

debut

＞２〕絶対値を含む不等式|ｘ|＋|ｙ|≦１を満たす範囲
（１）ｘ≧０かつｙ≧０のとき
　　　　　ｘ＋ｙ≦１→ｙ≦－ｘ＋１
　　　　　よって、直線ｙ＝－ｘ＋１とｘ軸、ｙ軸で
　　　　　囲まれる三角形（領域を含む)
（２）ｘ≧０かつｙ＜０のとき
　　　　　｜ｙ｜は－ｙになるので、
　　　　　ｘ－ｙ≦１→ｙ≧ｘ－１
　　　　　よって、直線ｙ＝ｘ－１とｘ軸、ｙ軸で
　　　　　囲まれる三角形（直線とｘ軸を含む）
（３）ｘ＜０かつｙ≧０のとき
　　　　　｜ｘ｜は－ｘになるので、・・・
（４）ｘ＜０かつｙ＜０のとき
　　　　　・・・
とやっていって、最後に４つを総合させます。

回答No.1

koko_u_

>例えば、|ｘ＋３|＝５の場合、－（ｘ＋３）＝５の場合と
>ｘ＋３＝５の場合の2種類計算しますが
この場合も x+3 の符号に応じて場合わけをしていますね。

x+3 が負数なら -5 、整数なら +5

-5 や +5 の符号が明らかなため、「が負数なら」等を省略しているだけ。