２変数関数、分かりません!!

質問

以下の問題が分かりません(ノД｀゜)
だれか解き方を教えてください!!

x≧0、y≧0、、x+y≦2を同時に満たすx、ｙに対してz＝2xy+ax+4yの最大値を求めよ。ただし、aは負の定数とする。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

条件から、0≦y≦2-x、0≦x≦2.
z＝2xy+ax+4y＝2(x+2)y＋ax　になるが、x＋2＞0より、これは傾きが正のyの一次関数。
よって、y＝2-x　のときに最大だから、z≦2(x+2)*(2-x)＋ax　であるから、0≦x≦2の条件で、2(x+2)*(2-x)＋ax　の最大値を求めると良い。
Ｆ＝2(x+2)*(2-x)＋ax＝-2(x-a/4)＾2＋8＋a＾2/8　‥‥(1)　これは、上に凸のxの2次関数であり、a＜0だからその軸は負。
従って、0≦x≦2では　x＝0で最大となり、(1)より最大値は　8。この時、y＝2-xより　y＝0。

お礼

非常にわかりやすかったです!!!

ありがとうございました(´▽｀)

回答No.4

mister_moonlight

今度は、座標で考えてみよう。

z＝2xy+ax+4y＝(x+2)*(2y+a)-2a　であるから、これは　軸が　x＝-2、2y＝-aの双曲線を表している。
x≧0、y≧0、、x+y≦2　は　3点(2、0)、(0、2)、(0、0)で出来る三角形の内部と周上。
その範囲で、双曲線：z＋2a　＝(x+2)*(2y+a)‥‥(1)を考えると、最大は　点(0、2)を通るときである事は、明らか。
そのときの最大値は、(1)より　8.

回答No.2

info22_

x≧0,y≧0,x+y≦2 …(1)
z=f(x,y)=2xy+ax+4y …(2)

(1)より　0≦x≦2 …(3), 0≦y≦2 …(4)
∂z/∂y=2x+4>0 (∵(3)より)
従って(3)の下で
(2)のzはyの単調増加関数なので(4)から
　y=2の時 zは最大となる。
この時 (1)より x=0なので　最大値f(0,2)=8

回答No.1

hrsmmhr

与えられた範囲内ではxの値によらずyは大きければ大きいほどzが大きくなるのでy=2-xとおけます
あとは２次不等式を解きます