2変数関数の偏微分がわかりません＞＜

質問

授業のノートを一部なくしてしまい、問題と解答はあるのですが、過程や適用する公式がわからなくなってしまいました。以下の４問です。

Q1 z=y/1+x^2 A Zx=-2xy/(1+x^2)^2 Zy=1/1+x^2
Q2 z=xe^(x+y) A Zx=(1+x)e^(x+y) Zy=xe^(x+y)
Q3 z=ylog(x^2+y^2+1) A Zx=2xy/x^2+y^2+1 Zy=log(x^2+y^2+1)+2y^2/x^2+y^2+1
Q4 z=sin(xy)

Q4に関しては答えもなく、いろいろ公式も検索してみましたが、どうやればいいのかわかりません。どなたか過程や公式がわかる方いらっしゃいましたら返答お願いしますｍ＞＜ｍ

回答No.2

noname#75273 · ベストアンサー

例えば、z = sin ( 3x + 2y ) の場合を考えると、
Zx = cos ( 3x + 2y ) * (3 + 0)
　　= 3 * cos ( 3x + 2y )　　となるのは分かります？
分かっていれば、Q4 は説明するまでもなく解けますが・・・。

お礼

回答ありがとうございます。
その例から考えると、z = sin (X + Y)のとき
Zx = cos (X + Y) * (X' + Y')
ということのようですね。ということはQ4は
Zx = cos(xy) * (y) = ycos(xy)　, Zy = cos(xy) * (x) =xcos(xy)
となるということのよですね。Q4については解決できたようです。ありがとうございましたｍ－－ｍ

回答No.4

774danger

そこまでできれば、あとは、

・1/x, e^x, log(x)の微分
・y=f(x)g(x)とおくと、y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

がわかっていれば全部解けるでしょう

お礼

回答ありがとうございますｍ－－ｍ
いただいたアドバイスを基に、冷静になってもう一度解いてみたら、すべて解答に結びつけることができました。対数の微分の公式では
{ log|x| }' = 1/x という公式を適用すると思っていたのですが、検索して調べていたところ
{ log|f(x)| }' = f'(x)/f(x) を適用するのだということに気付きました。道理で解けなかったわけです。

本当にありがとうございました＾＾

回答No.3

774danger

> Q4　は　(sinX)'=cosX　という公式を利用するんだと思いますが、Xをaxと考えるとして、それをどうすればいいのかがわからないのです。。

X=axと置いて、z=sin(ax)を微分すると、
dz/dx = dz/dX・dX/dxになります

sin(πx)とかを微分したことはないですか?

回答No.1

774danger

普通の微分に関しては理解してるんでしょうか?

Zxというのは、xだけを変数としてみて、yは定数と見て微分すればいいだけです
Q4なんかこの中では一番簡単な気がしますが..........
z=sin(ax)をxについて微分しろ、と言っているのと一緒ですので

お礼

回答ありがとうございます。
ある程度は理解しているつもりです。しかし公式と少し違うだけで混乱してしまうはやはり理解できていないのでしょうか・・
Q4　は　(sinX)'=cosX　という公式を利用するんだと思いますが、Xをaxと考えるとして、それをどうすればいいのかがわからないのです。。
もし馬鹿正直に当てはめるとすると、Zx=cosyx Zy=cosxy となるんでしょうか、、