分かりません。至急！

質問

x≧0 y≧0,x+y≦2,を同時に満たすx,yに対してz=2xy+ax+4yの最大値を求めてください。（aは負の定数）
よろしくお願いします。

回答No.4

mozniac · ベストアンサー

x+y=k とおくと　0≦k≦2・・・(1)
またy=k-xより
z=2x(k-x)+ax+4(k-x)
=-2{x-(2k+a-4)/2}^2+{(2k+a-4)^2}/8+4k・・・(2)
となるから
(2)をxについての２次関数と見ます。

ここで(1)より
0≦2k≦4
-4≦2k-4≦0
a-4≦2k+a-4≦a
(a-4)/2≦(2k+a-4)/2≦a/2・・・(3)

(2)の表す放物線の軸の方程式は
x=(2k+a-4)/2
であり、aが負の数であることから
軸はy軸より左方にある。・・・(4)

そして
(2)の表す放物線はx^2の係数が負より上に凸の放物線・・・(5)

(4)(5)より、0≦k≦2をみたす任意のkについて、x=0でzは最大値をとる。
x=0のときz=4kであり、0≦k≦2から、k=2で最大値8をとる。
x+y=kより、x=0, k=2のときy=2

したがって、x=0, y=2のとき最大値8をとる。

no.3の方のをくどくやった様なモノでしょうか。お分かりになれば幸いです。

回答No.3

oshiete_goo

0≦x≦2の範囲の任意のxを1つとって固定して, それをx=kとおく.
すると0≦k≦2・・・(1)より0≦y≦2-k・・・(2)である.
このとき
z=2(k+2)y+ak
において, (1)から yの係数 2(k+2)>0より, yの関数としては単調増加で,
(2)の範囲に対して, zの変域は
ak≦z≦2(k+2)(2-k)+ak=2(4-k^2)+ak=-2k^2+ak+8
である.
すると-2k^2+ak+8は, a<0より(1)の範囲では単調減少なので,
zの最大値は8(x=0,y=2のとき).

回答No.2

134

すいません、まちがえていますね。
ｚ＝－２ｘ^2＋ａｘ＋８　から
ｚ＝－２（ｘ－a/4）^2＋８＋a^2／８
なので、ｘ＝ａ／４のとき、最大値…
ｘ＋ｙ＝２のとき、ｙ＝７ａ／４
これをｚの式に代入すると
ａ（９ａ／８＋７）で、ａ＝０か、ａ＝－５６／９の時ｚは最大…
ですが、ａ＝－５６／９のとき、ａ≧０，ｙ≧０を満たさないので却下
なので、ａ＝０の時、ｚの最大値は８…って、ａは０であって、負ではなく命題に矛盾していますね。　まぁ、ａは０に限りなく近い数値ということで…

回答No.1

134

ｘ＝０、y＝０のとき、ｘ＋ｙ≦２を満たすものの、ｚ＝０

ｘ＋ｙ＝２のとき、　ｙ＝２－ｘ
ｚ＝２ｘ（２－ｘ）＋ａｘ＋４（２－ｘ）
　＝－２ｘ^2＋ａｘ＋８

この放物線は、上を凸にする形状で最大値はｘ＝０、ｙ＝２のとき、ｚ＝８（＝定数項）
…なんて感じでしょうか　^^;)