背理法を使うとき

質問

今、代数で背理法を習いました。
背理法がどういう物なのかは理解できたのですが、どういう場面で使えばいいか分かりません。

例えばAという問題は、背理法を使わないと解けないとします。
その場合、「背理法で証明できる」という事実は分かるのですが、なぜ背理法を使うのかが分かりません。
問題をぱっと見ただけで、「これは背理法でないと解けない」ということは分かりませんよね。

これは、経験がものを言うところなのでしょうか……
それだったら仕方ないのですが、そうでなければ背理法がどういう場面で使えるか教えてください。

出来れば、私立中学生が分かる範囲でお願いします。

回答No.2

UKY · ベストアンサー

(1)「部屋Aの中のどこかにダイヤモンドが隠されていることを証明せよ。」
(2)「部屋Bの中にはどこにもダイヤモンドが隠されていないことを証明せよ。」

さて、直感的にどちらの証明の方が簡単だと思いますか?
もちろん(1)ですよね。
(1)は、実際に部屋Aの中からダイヤモンドを探し出せば、証明終わりです。

(2)は大変ですね。普通の方法では、部屋の中を隅から隅までくまなく探して、どこにも無いことを確認しなくてはなりません。
でもあなたが「ダイヤ探知機」を持っていた場合はどうでしょうか。

　この部屋にダイヤがあると仮定する。
　ダイヤがあるなら、ダイヤ探知機が反応するはずだ。
　しかし、実際にはダイヤ探知機は反応しない。→矛盾!

あっという間に、背理法で証明できてしまいました。

一般的に、背理法は「正攻法」ではうまくいかない証明に使えることが多いです。
上の(2)の場合、隅から隅までのしらみつぶし戦法という正攻法では、かなり証明は困難です。
こういう時は、背理法を試してみる価値があります。(もちろん必ずうまくいくとは限りませんが)

実際の数学の問題に照らし合わせて見ましょう。
「√2は有理数でないことを証明せよ」

正攻法=しらみつぶし戦法で行くならば、
　1/2は√2とは異なる。
　1/3は√2とは異なる。
　1/4は√2とは異なる。
　2/3は√2とは異なる。
　・・・・・・
などと、一つ一つの有理数に対して、√2とは異なることをそれぞれ調べてゆくことになります。しかし、実際には有理数は無限に存在するので、それでは終わりませんね。

そういう時こそ背理法なのです。
いくらでもある有理数と√2を《すべて》比較するよりも、(複数あるかもしれない)矛盾を《一つ》探し出すだけの方が、明らかに簡単ということなのです。

さて、もちろん、有理数・無理数の証明以外にも背理法が有効な場合はたくさんあります。
背理法が使えるかどうかの目安としては、(あくまでも目安です)
命題に「ない」が含まれているかどうかがポイントです。例えば、
「有理数で《ない》ことを証明せよ」
「……となる可能性は《ない》ことを証明せよ」
「どの場合も……が成り立た《ない》ことを証明せよ」
という感じです。

最後になりますが、やはりある程度は慣れがものをいいます。証明問題を解くたびに、背理法が使えるかどうか意識して考えるようにすると、段々と使える使えないの区別が付くようになってきます。
慣れないうちは、手当たり次第に背理法を試してみるというのでもかまいません。自然と区別は付くようになりますから。
それでもやはり、上に書いた「しらみつぶし」と「ない」の二点は区別をするヒントになることが多いので、心にとどめて置いてください。

お礼

「しらみつぶし」と「ない」ですか。
そう言われてみればそうですね。
おもわずちょっぴり「へぇ～」です。

ありがとうございました。

回答No.3

i536

背理法は、無限を扱う証明に関して強力無比です。
逆に有限を扱う証明ではほとんど使いません。

中学、高校では無限を扱いませんので、
背理法の有難味はわかりません。
しかし、大学以上の数学ではいやというほど背理法を使用しますので、
これなしでは数学が成り立たないだろうと思えるはずです。

お礼

そうなんですか。
だから√2……の証明のとき使ったりするのかもしれないんですね。
数学が成り立たないほどだとは。すごいです。
よくわかりました。

分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.1

gramin

そのまま説明したのでは、当り前すぎるような場面で、背理法を使うと、すっきりと説明できるように思います。

ところで、「私立中学生が分かる範囲」と「公立中学生が分かる範囲」って何か違うのでしょうか？

お礼

そうなんですか……
「当たり前すぎる」ですね。考えてみます。

範囲についてのことです。
私の学校は先取りで高1ぐらいのことをしてるので書きました。

失礼があったらすみません。訂正します。