数Aの問題で・・・・

質問

数Aで証明をやっているんですが、対偶を証明して与題を証明する方法と背理法を使って証明する方法、どちらの方法が適切か（両方で可能な場合もあると聞きましたが・・・）見分け方とかあるんですか？
自己流とか経験などなんでもいいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

res9ers7 · ベストアンサー

見分け方はあります。
●対偶で証明する場合
まず、「対偶」についての確認ですが、
「A→Bを証明せよ」、という問題で、「Bでない→Aでない」を証明するのが対偶でした。
つまり、後者(対偶)の方が証明しやすい場合は、対偶で証明します(当たり前ですね。)

「a+bが5の倍数ならば、aまたはbは5の倍数ではない」ことを示せ。
この問題の場合、a+b=5k(k:整数)として解いていこうとしても、つまづきます。よく問題を見てみると、a+bとa,bとを比べると、足しているものより、単体a,bの方が簡単ですよね。
なので、対偶で証明しようと判断できます。
対偶「aとbはともに5の倍数」→「a+bは5の倍数」

私は学校では、a,b(材料)、a+b(料理)と習いました。材料があってこそ料理ができるので、材料→料理の順で証明しようという考えです。

●背理法の場合
背理法で証明するパターンというのはお決まりで、
例えば「方程式○○○は、整数解をもたないことを示せ」という問題のように、否定的な事柄を証明する場合、かつ対偶のように材料と料理がない場合は背理法で証明します。
つまり、この場合「整数解をもつと仮定して」矛盾を示すことになります。

お礼

材料、料理ですか＾＾
わかりやすですね。これからそういった点に注意しながら解いて考えていきたいです。
丁寧な回答ありがとうございました！！

回答No.1

felicior

よくある「n^2が偶数ならばnは偶数」という問題で考えてみましょう。

対偶命題は「nが奇数ならばn^2は奇数」ですね。
n=2k+1（kは整数）とおいてn^2＝2(2k^2+k)+1となるので証明終了です。

背理法は「n^2が偶数かつnは奇数」から矛盾を導くことです。
nは奇数より、n=2k+1（kは整数）とおいてn^2＝2(2k^2+k)+1となり、
これはn^2が偶数だったことに矛盾するので証明終了です。

どうですか？ほとんど同じでしたね。
背理法や対偶証明の共通点は、もともと結論だったものでも、
否定すれば仮定として使うことができるメリットがあるところです。
このメリットを生かせればどちらでもできる問題は多いと思います。
（ただし上の問題を背理法で解くのは少々大袈裟な感じはします）

一般に「ｐならばｑ」を背理法で解くには、
結論ｑを否定して仮定側（ならばの左側）に含めて「かつ」でつなぐので
「ｐかつ（ｑでない）ならば矛盾」を導くことになります。
（結論が残らない＝矛盾と考えて下さい）
矛盾といってもどんな種類の矛盾が出てくるかはわからないのでよく見ている必要があります。

ここでさらにもともと仮定側にあったｐを否定して結論側（ならばの右側）に戻すと
「ｑでないならばｐでない」となり対偶命題が出来上がります。
こうすると証明に使える式（仮定）が減ってしまう一方、目指す式（結論）はハッキリします。

このように「ならば」の左右をよく見ながらいろいろな問題を試してみてください。
否定してもう一方に移すことは「移項」にも似ていますね。
ｐを手のうち（仮定）に残すべきかどうかはよく考えましょう。

ただし、「√２は無理数である」というタイプの問題は「ｐならば」の部分がなく
いきなり「ｑ」とだけ言っているので、当然対偶は作りようがなく背理法だけです。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。
そのようにいろいろ見ながら考えてやってみます。とても参考になりました。助かりました。
ありがとうございました。